calculo-de-una-variable-1

120 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
V EJEMPLO 2 ¿En dónde son discontinuas cada una de las funciones siguientes?
(a)
(c)
f x x 2 x 2
x 2
f x x 2 x 2
x 2 si x 2
(b)
(d) fx x
SOLUCIÓN
(a) Advierta que f2 no está definido, también f es discontinua en 2. Más adelante
verá por qué es continua en todos los otros números.
(b) En este caso, f0 1 está definido pero
no existe. (Véase el ejemplo 8 en la sección 2.2.) Así, f es discontinua en 0.
(c) En este caso f2 1 está definido y
existe. Pero
1 si x 2
por eso, f no es continua en 2.
1
lím f x lím
x l 0 x l 0 x 2
lím f x f 2
x l2
f x 1
x 2
si x 0
1 si x 0
x 2 x 2 x 2x 1
lím f x lím
lím
lím x 1 3
x l2 x l2 x 2 x l2 x 2
x l2
(d) La función mayor entero fx x tiene discontinuidades en todos los enteros
porque lím xl n x no existe si n es un entero. (Véase el ejemplo 10 y el ejercicio 49 de
la sección 2.3.)
En la figura 3 se muestran las gráficas de las funciones del ejemplo 2. En cada caso
no se puede dibujar la gráfica sin levantar la pluma del papel, porque se presenta un agujero,
una ruptura o un salto en esa gráfica. El tipo de discontinuidad que se ilustra en los
incisos (a) y (c) se conoce como removible porque la discontinuidad podría eliminarse al
redefinir f justo en el número único 2. [La función tx x 1 es continua.] La discontinuidad
del inciso (b) recibe el nombre de discontinuidad infinita. Las discontinuidades
del inciso (d) se llaman discontinuidad por salto porque la función “salta” de un valor a
otro.
y
y
y
y
1
1
1
1
0
1 2 x
0
x
0
1 2
x
0
1 2 3
x
(a) ƒ= ≈-x-2
x-2
(b) ƒ=
1
si x≠0
≈
1 si x=0
(c) ƒ=
≈-x-2
si x≠2
x-2
1 si x=2
(d) ƒ=[x]
FIGURA 3 Gráficas de las funciones del ejemplo 2