calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.1 CURVAS DEFINIDAS POR ECUACIONES PARAMÉTRICAS |||| 625
P
P
FIGURA 13
P
y
SOLUCIÓN Se elige como parámetro el ángulo de rotación u del círculo u 0 cuando P
está en el origen. Suponga que el círculo ha girado u radianes. Debido a que el círculo
ha estado en contacto con la línea, se ve de la figura 14, que la distancia que ha rodado
desde el origen es
O
P
x y r¨
r
C(r¨, r)
¨
Q
T
x
OT
arc PT r
Por lo tanto, el centro del círculo es Cru, r. Sean x, y las coordenadas de P. Entonces,
de la figura 14 se ve que
x OT PQ r r sen r sen
FIGURA 14
y TC QC r r cos r1 cos
Debido a eso, las ecuaciones paramétricas de la cicloide son
I
x r sen
y r1 cos
A
Un arco de la cicloide viene de una rotación del círculo y, por lo tanto, se describe mediante
0 u 2p. Aunque las ecuaciones 1 se derivaron de la figura 14, que ilustra el
caso donde 0 u p2, se puede ver que estas ecuaciones aún son válidas para otros
valores de u véase el ejercicio 39.
Aunque es posible eliminar el parámetro u de las ecuaciones 1, la ecuación cartesiana
resultante en x y y es muy complicada y no es conveniente para trabajar como las ecuaciones
paramétricas.
cicloide
FIGURA 15
P
P
FIGURA 16
P
P
B
P
Una de las primeras personas en estudiar la cicloide fue Galileo, quien propuso que los
puentes se construyeran en forma de cicloides, y quien trató de encontrar el área bajo un
arco de una cicloide. Después esta curva surgió en conexión con el problema de la braquistócrona:
Hallar la curva a lo largo de la cual se deslizará una partícula en el tiempo
más corto bajo la influencia de la gravedad de un punto A a un punto inferior B no directamente
debajo de A. El matemático suizo John Bernoulli, quien planteó este problema en
1696, mostró que entre las curvas posibles que unen a A con B, como en la figura 15, la
partícula tomará el menor tiempo de deslizamiento de A a B si la curva es parte de un arco
invertido de una cicloide.
El físico holandés Huygens mostró que la cicloide es también la solución al problema
de la tautócrona; es decir, sin importar dónde se coloque una partícula P en una cicloide
invertida, le toma el mismo tiempo deslizarse hasta el fondo véase fig. 16. Huygens propuso
que los relojes de péndulo que él inventó oscilaran en arcos cicloidales, porque en
tal caso el péndulo tarda el mismo tiempo en completar una oscilación si oscila por un arco
amplio o pequeño.
FAMILIAS DE CURVAS PARAMÉTRICAS
V
EJEMPLO 8 Investigue la familia de curvas con ecuaciones paramétricas
x a cos t
y a tan t sen t
¿Qué tienen en común estas curvas? ¿Cómo cambia la curva cuando se incrementa a?