calculo-de-una-variable-1

652 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
1
r=
2
FIGURA 7
1 π
” 2, 3 ’
1 π
” 2, 6’
r=cos 2¨
32
. Los puntos no chocan en el origen porque llegan a él en diferentes tiempos, pero
las curvas se cortan allí.
Así, para hallar todos los puntos de intersección de dos curvas polares, se recomienda
dibujar las gráficas de ambas curvas. Es especialmente conveniente usar una calculadora o
computadora como medio auxiliar para esta tarea.
EJEMPLO 3 Encuentre los puntos de intersección de las curvas r cos 2 y r 1 2.
SOLUCIÓN Si se resuelven las ecuaciones r cos 2 y r 1 , se obtiene cos 2 1 2
2 y, por
lo tanto, 2 3, 53, 73, 113. Así, los valores de entre 0 y 2 que satisfacen
ambas ecuaciones son 6, 56, 76, 116. Se han hallado cuatro puntos de intersección:
( 1 2, 6) , ( 1 2, 56), ( 1 2, 76) y ( 1 2, 116) .
Sin embargo, se puede ver de la figura 7 que las curvas tienen otros cuatro puntos de
intersección; a saber, ( 1 2, 3) , ( 1 2, 23) , ( 1 2, 43) y ( 1 2, 53) . Éstos se pueden hallar
por medio de simetría o al notar que otra ecuación del círculo es r 1 y resolviendo
después las ecuaciones r cos 2 y r 1 2
2.
LONGITUD DE ARCO
b
Para hallar la longitud de una curva polar r f , a , se considera a como un
parámetro y se escriben las ecuaciones paramétricas de la curva como
x r cos f cos y r sen f sen
Al usar la regla del producto y derivar con respecto a , se obtiene
dx
d
dr
d
cos r sen
dy
d
dr
d
sen r cos
así, con cos 2 sen 2 1, se tiene
dx dy dr
Si se supone que f es continua, se puede usar el teorema 10.2.6 para escribir la longitud
de arco como
Por lo tanto, la longitud de una curva con ecuación polar r f , a b, es
V
5
2
d
2
d
dr
L y
b
2
d
dr
2
d
a
L y
b
cos 2 2r dr
2
d
r 2
d
dx 2
d
dy 2
a
r 2
sen 2 2r dr
d
dr 2
EJEMPLO 4 Determine la longitud de la cardioide r 1 sen .
SOLUCIÓN La cardioide se muestra en la figura 8. Se bosqueja en el ejemplo 7 de la sección
10.3. Su longitud total está dada por el intervalo de parámetro 0 2, así que
la fórmula 5 da
d
cos sen r 2 sen 2
d
d
d
sen cos r 2 cos 2