calculo-de-una-variable-1

100 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
LEY DE LA SUMA
LEY DE LA DIFERENCIA
LEY DE MÚLTIPLO CONSTANTE
LEY DEL PRODUCTO
LEY DEL COCIENTE
Estas leyes se pueden expresar en forma verbal como sigue
1. El límite de una suma es la suma de los límites.
2. El límite de una diferencia es la diferencia de los límites.
3. El límite de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada
por el límite de la función
4. El límite de un producto es el producto de los límites.
5. El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del
denominador no sea cero).
Es fácil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, si fx está cercano a L
y tx lo está de M, resulta razonable concluir que fx tx está cercano a L M. Esto da
una base intuitiva para creer que la ley 1 es verdadera. En la sección 2.4 aparece una definición
precisa de límite; la cual se utilizará para demostrar esta ley. Las demostraciones de las
leyes restantes se proporcionan en el apéndice F.
g
y
0
1
1
f
x
EJEMPLO 1 Use las leyes de los límites y las gráficas de f y t de la figura 1 para evaluar
los límites siguientes, si existen.
(a) lím f x 5tx (b) lím f xtx (c)
x l 2 x l 1
SOLUCIÓN
(a) A partir de las gráficas de f y t,
lím
x l 2
f x
tx
FIGURA 1
lím f x 1
x l 2
y
lím tx 1
x l 2
Por lo tanto,
lím f x 5tx lím f x lím 5tx
x l 2 x l 2 x l 2
lím f x 5 lím tx
x l 2 x l 2
(por la ley 1)
(por la ley 3)
1 51 4
(b) Observe que lím xl 1 fx 2. Pero lím xl 1 tx no existe porque los límites por la
izquierda y por la derecha son diferentes:
lím tx 2
x l 1
tx 1
x l 1
De suerte que no es posible usar la ley 4 para el límite deseado. Pero puede usar la ley 4
para los límites laterales:
lím
lím f xtx 2 2 4
x l 1 f xtx 2 1 2
x l 1 los límites izquierdo y derecho no son iguales, así lím xl 1 fxtx no existe.
(c) Las gráficas muestran que
lím
lím f x 1.4
x l 2
y
lím tx 0
x l 2
Ya que el límite del denominador es 0, no puede aplicar la ley 5. El límite dado no existe
porque el denominador se aproxima a cero en tanto que el numerador tiende a un número
no cero.