calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.4 DEFINICIÓN EXACTA DE LÍMITE |||| 111
FIGURA 2 x a f(a) ƒ
f
La definición de límite establece que si cualquier intervalo pequeño L e, L e
alrededor de L, entonces es posible encontrar un intervalo a d, a d alrededor de a
tal que f mapea todos los puntos en a d, a d (excepto posiblemente en a) en el intervalo
L e, L e. Véase figura 3.
f
FIGURA 3 a-∂ a
x
a+∂
ƒ
L-∑ L L+∑
Otra interpretación geométrica de los límites se puede hacer en términos de la gráfica
de la función. Si e 0 trace las rectas horizontales y L e y y L e y la
gráfica de f (véase figura 4). Si lím xla fx L, entonces se puede encontrar un número
d 0 tal que si restringe a x a que quede en el intervalo a d, a d y hace x a,
entonces la curva y fx está entre las rectas y L e y y L e. (Véase figura 5.)
Usted puede ver que si se ha encontrado tal d en tal caso cualquier d más pequeña también
funcionará.
Es importante darse cuenta que el proceso ilustrado en las figuras 4 y 5 debe funcionar
para todo número positivo e sin que importe qué tan pequeño sea. En la figura 6 se ilustra
que si se elige un e más pequeño, entonces se podría requerir una d más pequeña.
y
L
∑
∑
y=ƒ
y=L+∑
y=L-∑
ƒ
está
aquí
y
L
∑
∑
y=L+∑
y=L-∑
y
L+∑
L-∑
y=L+∑
y=L-∑
0 a
x
0 a
x
a-∂ ∂
cuando est aquí
(x a)
0 a
x
a-∂
a+∂
FIGURA 4 FIGURA 5 FIGURA 6
EJEMPLO 1 Utilice una gráfica para encontrar un número d tal que
15
si x 1 d entonces x 3 5x 6 2 0.2
En otras palabras, encuentre un número d que corresponda a e 0.2 en la definición de
límite para la función fx x 3 5x 6 en donde a 1 y L 2.
_3 3
SOLUCIÓN Una gráfica de f se presenta en la figura 7; estamos interesados en la región
cercana al punto 1, 2. Observe que puede volver a escribir la desigualdad
FIGURA 7
_5
x 3 5x 6 2 0.2
como 1.8 x 3 5x 6 2.2