calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 6.4 TRABAJO |||| 439
muestral x*
i en el i-ésimo subintervalo x i1 , x i . Entonces la fuerza en el punto es f x*
i . Si
n es grande, entonces x es pequeña, y puesto que f es continua, los valores de f no cambian
mucho en el intervalo x i1 , x i . En otras palabras, f es casi constante en el intervalo, por
lo que el trabajo W i que se realiza al desplazar la partícula desde x i1 hasta x i se obtiene
aproximadamente mediante la ecuación 2:
W i f x* i x
Por eso, puede dar un valor aproximado del trabajo total con
3
W n
i1
f x i * x
Parece que esta aproximación es mejor a medida que incrementa n. Por lo tanto, defina al
trabajo efectuado al mover el objeto desde a hasta b como el límite de esta cantidad
cuando n l . Puesto que el lado derecho de (3) es una suma de Riemann, su límite es
una integral definida y de este modo
4
W lím
n l
n
i1
f x* i x y b
f x dx
a
EJEMPLO 2 Cuando una partícula se ubica a una distancia x pies del origen, una fuerza
de x 2 2x libras actúa sobre ella. ¿Cuánto trabajo se efectúa al moverla desde x 1
hasta x 3?
SOLUCIÓN
W y 3
x 2 2x dx x 3
1
3 x 21
3
50
3
El trabajo realizado es lb-pie.
16 2 3
superficie
sin fricció
0
(a) Posición natural del resorte
(b) Resorte estirado
FIGURA 1
Ley de Hooke
x
x
ƒ=kx
x
En el ejemplo siguiente aplique una ley de la física: la ley de Hooke establece que la
fuerza requerida para mantener un resorte estirado x unidades más de su longitud natural es
proporcional a x:
donde k es una constante positiva (que se denomina constante del resorte). La ley de
Hooke se cumple siempre que x no sea demasiado grande (véase figura 1).
V EJEMPLO 3 Una fuerza de 40 N se requiere para detener un resorte que está estirado
desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se hace
al estirar el resorte de 15 a 18 cm?
SOLUCIÓN De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza que se requiere para mantener el
resorte estirado x metros más allá de su longitud natural es f x kx. Cuando el resorte
se pasa de 10 a 15 cm, la cantidad estirada es 5 cm 0.05 m. Esto quiere decir que
f 0.05 40, de modo que
0.05k 40
f x kx
k 40
0.05 800
Por eso,
f x 800x y el trabajo hecho para estirar el resorte de 15 a 18 cm es
W y 0.08
800xdx 800 x 2
0.08
0.05
20.05
4000.08 2 0.05 2 1.56 J