calculo-de-una-variable-1

APÉNDICE G EL LOGARITMO DEFINIDO COMO UNA INTEGRAL |||| A53
Las leyes generales de exponentes se siguen de la definición 13 junto con las leyes de
exponentes para e x .
5
LEYES DE EXPONENTES Si x y y son números reales y a, b 0, entonces
1. a xy a x a y 2. a xy a x a y 3. a x y a xy 4.
x a x b x
PRUEBA
1. Usando la definición 13 y las leyes de exponentes para e x , tiene
3. Usando la ecuación 14 obtiene
ab
a xy e xy ln a x ln ay ln a
e
e x ln a e y ln a a x a y
a x y e y lnax e yx ln a e xy ln a a xy
Las pruebas restantes se dejan como ejercicio.
y
La fórmula de la derivación para funciones exponenciales también es una consecuencia
de la definición 13:
16
d
dx ax a x ln a
1
PRUEBA
0
lím a®=0, lím a®=`
x _` x `
x
d
dx ax d dx ex ln a e x ln a d dx x ln a ax ln a
FIGURA 8 y=a®, a>1
y
Si a 1, entonces ln a 0, de modo que (d/dx)a x a x ln a 0, lo que demuestra que
y a x es creciente (véase la figura 8). Si 0 a 1, entonces ln a 0 y por lo tanto y a x
es decreciente (véase la figura 9).
FUNCIONES LOGARÍTMICAS GENERALES
Si a 0 y a Z 1, entonces f(x) a x es una función biunívoca. Su función inversa recibe
el nombre de función logarítmica con base a y se denota con log a . De este modo,
1
17
log a x y
3
a y x
0
x
lím a®=`, lím a®=0
x _` x `
En particular, ve que
FIGURA 9 y=a®, 0