calculo-de-una-variable-1

128 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
2.5
EJERCICIOS
1. Escriba una ecuación que exprese el hecho de que una función
f es continua en el número 4.
2. Si f es continua sobre , , ¿qué puede decir acerca de su
gráfica?
3.
(a) A partir de la gráfica de f, establezca el número al cual f
es discontinua y explique por qué.
(b) Para cada uno de los números que se determinaron en el
inciso (a), determine si f es continua desde la derecha,
desde la izquierda o desde ninguno de los dos lados.
y
(d) El costo de un viaje en taxi como función de la distancia
recorrida.
(e) La corriente en el circuito para las luces de una habitación
como función del tiempo.
9. Si f y t son funciones continuas con f 3 5 y
lím x l 3 2 f x tx 4 , encuentre t3.
10–12 Use la definición de continuidad y las propiedades de los
límites para demostrar que la función es continua en el número
a dado.
10. f x x 2 s7 x, a 4
11.
f x x 2x 3 4 , a 1
_4 _2 0 2 4 6
x
2t 3t2
12. ht , a 1
1 t 3
13–14 Use la definición de continuidad y las propiedades de los
límites para demostrar que la función es continua en el intervalo
4. A partir de la gráfica de t, dé los intervalos sobre los que t es
continua.
y
_4 _2 2 4 6 8
5. Trace la gráfica de una función que sea continua en todas partes,
excepto en x 3, y sea continua desde la izquierda en 3.
6. Dibuje una función que tenga una discontinuidad de salto en
x 2 y una discontinuidad removible en x 4, pero que sea
continua en todas las demás partes.
7. En un lote de estacionamiento se cobran $3 por la primera hora
(o fracción) y $2 por cada hora (o fracción) subsiguiente, hasta
un máximo diario de $10.
(a) Dibuje el costo de estacionar un automóvil en este lote,
como función del tiempo que permanezca allí.
(b) Analice las discontinuidades de esta función y su significado
para alguien que estacione su automóvil en el lote.
8. Explique por qué cada función es continua o discontinua.
(a) La temperatura en un lugar específico como función del
tiempo.
(b) La temperatura en un momento dado como función de la
distancia hacia el oeste de la ciudad de Nueva York
(c) La altitud sobre el nivel del mar como función de la distancia
hacia el oeste de la ciudad de Nueva York.
x
13. f x 2x 3 , 2,
x 2
14. tx 2 s3 x, ,3.
15–20 Explique por qué la función es discontinua en el punto
dado a. Dibuje la gráfica de la función.
15. a 2
16.
1
si x 1
f x x 1
2 si x 1
a 1
17. f x e x si x 0
a 0
x 2 si x 0
18.
f x ln x 2
f x x 2 x
x 2 1
1
si x 1
si x 1
a 1
x si x 0
19. fx cos
0 si x 0
a 0
1 x 2 si x 0
20. fx 2x 2 5x 3
si x 3
x 3
a 3
6
si x 3
21–28 Con los teoremas 4, 5, 7 y 9 explique por qué la función es
continua en todo número en su dominio. Dé el dominio.
x
21. Fx
22. Gx s 3 x 1 x 3
x 2 5x 6