calculo-de-una-variable-1

202 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
En la sección 3.1, se dio la estimación
d
dx 2x 0.692 x
Esto resulta coherente con la fórmula exacta (6), porque ln 2 0.693147.
Queda clara la razón del nombre “regla de la cadena”, cuando se alarga una cadena,
se agrega al otro eslabón. Suponga que y f(u), u t(x) y x h(t), donde f, t y h
son funciones derivables. Entonces, para calcular la derivada de y con respecto a t, aplique
dos veces la regla de la cadena:
dy
dt dy
dx
dx
dt dy
du
du
dx
dx
dt
V EJEMPLO 8 Si f(x) sen(cos(tan x)), por lo tanto
f x coscostan x d dx
costan x
coscostan xsentan x d dx
tan x
coscostan x sentan x sec 2 x
Advierta que la regla de la cadena se ha aplicado dos veces.
sec 3
EJEMPLO 9 Derive y e .
SOLUCIÓN La función exterior es la función exponencial, la función media es la función secante
y la función interna es la función triplicadora. De modo que
dy
d
e d sec 3 sec 3
d
e sec 3 sec 3 tan 3 d 3
d
3e sec 3 sec 3 tan 3
CÓMO PROBAR LA REGLA DE LA CADENA
Recuerde que si y f(x) y x cambia de a a a x, se define el incremento de y como
Según la definición de derivada
y f a x f a
y
lím
x l 0 x f a
Por consiguiente, si denota por medio de e la diferencia entre el cociente de diferencia
y la derivada, obtiene
lím lím
x l 0 x l 0 y
x f a f a f a 0