calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.5 LA REGLA DE LA SUSTITUCIÓN |||| 401
porque, por la regla de la cadena,
d
Ftx Ftxtx
dx
Si hace el “cambio de variable” o la “sustitución” u tx, entonces, a partir de la ecuación
(3) tiene
y Ftxtx dx Ftx C Fu C y Fu du
o bien, si se escribe F f
se obtiene
Por lo tanto, ha probado la regla siguiente:
y f txtx dx y f u du
4 REGLA DE SUSTITUCIÓN Si u tx es una función derivable cuyo alcance es
un intervalo I, y f es continua sobre I, entonces
y f txtx dx y f u du
Advierta que se probó la regla de sustitución para la integración aplicando la regla de la
cadena para la derivación. Asimismo, observe que, si u tx, entonces du tx dx, de
modo que una manera de recordar la regla de sustitución es pensar en dx y du de (4) como
diferenciales.
Así pues, la regla de sustitución expresa: es permitido operar con dx y du después de
los signos de integral como si fueran diferenciales.
EJEMPLO 1 Encuentre y x 3 cosx 4 2 dx.
SOLUCIÓN Haga la sustitución u x 4 2 porque su diferencial es du 4x 3 dx, la cual,
aparte del factor constante 4, aparece en la integral. De este modo, con x 3 dx 1 4 du y la
regla de sustitución, tiene
y x 3 cosx 4 2 dx y cos u 1 4 du 1 4 y cos udu
1 4 sen u C
1 4 senx 4 2 C
&
Compruebe la respuesta al derivarla.
Advierta que en la etapa final tuvo que regresar a la variable original x.
La idea detrás de la regla de sustitución es reemplazar una integral relativamente complicada
por una más sencilla. Esto se lleva a cabo pasando de la variable original x a
una nueva variable u que sea función de x. Así, en el ejemplo 1 reemplace la integral
1
x x 3 cosx 4 2 dx con la integral más sencilla 4 x cos udu.
El reto principal en la aplicación de la regla de sustitución es pensar en una sustitución
apropiada. Intente elegir u como alguna función en el integrando cuya diferencial también
se presente (excepto para un factor constante). Este fue el caso en el ejemplo 1. Si no es