calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.4 LA REGLA DE LA CADENA |||| 199
SOLUCIÓN 2 (con la ecuación 3): Si hace u x 2 1 y y su, después
Fx dy
du
du
dx 1
2su 2x
1
2sx 2 1 2x
x
sx 2 1
Al utilizar la fórmula 3, debe tener presente que dydx se refiere a la derivada de y
cuando ésta se considera como función de x (llamada derivada de y con respecto a x), en
tanto que dydu se refiere a la derivada de y cuando se considera como función de u (la
derivada de y en función de u). Por lo tanto, en el ejemplo 1 y se puede considerar como
función de y como función de u (y su) . Advierta que
x (y sx 2 1)
dy
dx Fx
x
sx 2 1
en tanto que
dy
du f u 1
2su
NOTA En la aplicación de la regla de la cadena, trabaja del exterior hacia el interior.
La fórmula 2 expresa que deriva la función exterior f en la función interior
tx y, a continuación, multiplica por la derivada de la función interior.
d
dx
función
exterior
f tx f tx tx
evaluada en
la función
interior
derivada de
la función
exterior
evaluada en
la función
interior
derivada de
la función
interior
V EJEMPLO 2 Derive (a) y senx 2 y (b) y sen 2 x.
SOLUCIÓN
(a) Si y senx 2 , por lo tanto la función exterior es la función seno y la interior es
la función de elevar al cuadrado, de modo que la regla de la cadena da
dy
dx d dx
2x cosx 2
sen x 2 cos x 2 2x
función
exterior
(b) Observe que sen 2 x sen x 2 . En este caso, la función exterior es la de elevar al
cuadrado y la interior es la función seno. Por lo tanto,
dy
dx d dx sen x2 2 sen x cos x
función
exterior
evaluada en
la función
interior
derivada de
la función
exterior
derivada de
la función
exterior
evaluada en
la función
interior
evaluada en
la función
interior
derivada de
la función
interior
derivada de
la función
interior
& Véase la página de referencia 2 o el
apéndice D.
La respuesta se puede dejar como 2 sen x cos x, o bien, escribirse como sen 2x (por una
identidad trigonométrica conocida como la fórmula del ángulo doble).
En el ejemplo 2(a), combinó la regla de la cadena con la regla para derivar la función seno.
En general, si y sen u, donde u es una función diferenciable de x, en consecuencia, por
la regla de la cadena,
dy
dx dy
du
du
dx
cos u
du
dx