calculo-de-una-variable-1

576 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
y
1
0 0.25
1
FIGURA 14
Aproximación de Euler con tamaño
de paso 0.25
y
0
pendiente=F(x¸, y¸)
y¸
FIGURA 15
x¸
h
⁄
x
(⁄, ›)
hF(x¸, y¸)
x
como una aproximación a la solución para x 0.5 (el segmento naranja en la figura 13). Si
se reduce el tamaño de paso de 0.5 a 0.25, se obtiene una mejor aproximación de Euler
mostrada en la figura 14.
En general, el método de Euler indica empezar en el punto dado por el valor inicial y
proceder en la dirección indicada por el campo direccional. Deténgase después de un corto
tiempo, examine la pendiente en la nueva ubicación y proceda en esta dirección. Mantenga
la dirección de detención y de cambio de acuerdo con el campo direccional. El método
de Euler no produce la solución exacta para un problema de valor inicial, da aproximaciones.
Pero al disminuir el tamaño de paso (y por lo tanto se incrementa el número de las correcciones
de mitad de curso), se obtienen aproximaciones cada vez mejores a la solución
exacta. (Compare las figuras 12, 13 y 14.)
Para el problema general con valores iniciales de primer orden y Fx, y, yx 0 y 0 ,
el objetivo es aproximar valores para la solución en números igualmente espaciados x 0 ,
x 1 x 0 h, x 2 x 1 h,...,donde h es el tamaño de paso. La ecuación diferencial
dice que la pendiente en x 0 , y 0 es y Fx 0 , y 0 , de modo que la figura 15 muestra que
el valor aproximado de la solución cuando x x 1 es
De manera similar,
En general,
y 1 y 0 hFx 0 , y 0
y 2 y 1 hFx 1 , y 1
y n y n1 hFx n1 , y n1
EJEMPLO 3 Use el método de Euler con tamaño de paso 0.1 para construir una tabla de
valores aproximados de la solución del problema con valores iniciales
y x y
y0 1
SOLUCIÓN Se tiene que h 0.1, x 0 0, y 0 1, y Fx, y x y. Así, se tiene
y 1 y 0 hFx 0 , y 0 1 0.10 1 1.1
y 2 y 1 hFx 1 , y 1 1.1 0.10.1 1.1 1.22
y 3 y 2 hFx 2 , y 2 1.22 0.10.2 1.22 1.362
TEC Module 9.2B muestra cómo funciona el
método de Euler desde el punto de vista numérico
y visual para diversas ecuaciones diferenciales y
tamaños de paso.
Esto significa que si yx es la solución exacta, entonces y0.3 1.362.
Procediendo con cálculos similares, se obtienen los valores de la tabla:
n
x n y n
n
x n y n
1 0.1 1.100000 6 0.6 1.943122
2 0.2 1.220000 7 0.7 2.197434
3 0.3 1.362000 8 0.8 2.487178
4 0.4 1.528200 9 0.9 2.815895
5 0.5 1.721020 10 1.0 3.187485
Para una tabla más exacta de valores del ejemplo 3, se podría disminuir el tamaño de
paso. Pero para un gran número de pasos pequeños, la cantidad de cálculo es considerable
y, por lo tanto, se requiere programar una calculadora o computadora para realizar estos
cálculos. En la siguiente tabla se muestran los resultados de aplicar el método de Euler con
tamaño de paso decreciente al problema de valor inicial del ejemplo 3.