calculo-de-una-variable-1

PROYECTO DE LABORATORIO CÁLCULO Y BÉISBOL |||| 601
PROYECTO DE
APLICACIÓN
Caja de bateo
;
CÁLCULO Y BÉISBOL
En este proyecto se exploran tres de las muchas aplicaciones del cálculo al béisbol. Las interacciones
físicas del juego, en particular la colisión de la bola y el bate, son bastante complejas
y sus modelos se analizan en detalle en un libro de Robert Adair, The Physics of Baseball, 3a
ed. (Nueva York: HarperPerennial, 2002).
1. Podría sorprenderle saber que la colisión de la bola de béisbol y el bate dura sólo un milésimo
de segundo. Aquí se calcula la fuerza promedio sobre el bate durante la colisión, calculando
primero el cambio en el momentum de la bola.
El momentum p de un objeto es el producto de su masa m y su velocidad v, es decir,
p mv. Suponga que un objeto, que se mueve a lo largo de una recta, es afectado por una
fuerza F Ft que es una función continua del tiempo.
(a) Muestre que el cambio de momentum en un intervalo de tiempo t 0, t 1 es igual a la integral
de F de t 0 a t 1; es decir, muestre que
pt 1 pt 0 y t 1
Ft dt
t 0
Una vista superior de la posición de un bate
de béisbol, muestra cada cincuentava parte de
segundo durante un swing representativo.
(Adaptado de The Physics of Baseball)
Esta integral se llama el impulso de la fuerza en el intervalo de tiempo.
(b) Un lanzador envía una bola rápida a 90 millas/h al bateador, quien saca una recta directamente
detrás del lanzador. La bola está en contacto con el bate durante 0.001 s y sale
del bate con velocidad 110 millas/h. Una bola de béisbol pesa 5 oz y, en unidades inglesas,
su masa se mide en slugs: m wt donde t 32 piess 2 .
(i) Encuentre el cambio en el momentum de la bola.
(ii) Determine la fuerza promedio en el bate.
2. En este problema se calcula el trabajo requerido para que un lanzador envíe una bola rápida
a 90 millas/h considerando primero la energía cinética.
La energía cinética K de un objeto de masa m y velocidad v está dada por K 1 2 mv 2 . Suponga
que un objeto de masa m, que se mueve en línea recta, es afectado por una fuerza
F Fs que depende de su posición s. De acuerdo con la segunda ley de Newton.
Fs ma m dv
dt
donde a y v denotan la aceleración y velocidad de un objeto.
(a) Muestre que el trabajo invertido al mover el objeto desde una posición s 0 a una posición
s 1 es igual al cambio en la energía cinética del objeto; es decir, muestre que
W y s1
Fs ds 1 2 mv 12 1 2
2 mv 0
s 0
donde v 0 vs 0 y v 1 vs 1 son las velocidades del objeto en las posiciones s 0 y s 1.
Sugerencia: por la regla de la cadena,
m dv
dt m dv
ds
(b) ¿Cuántos pies-libra de trabajo requiere lanzar una bola de beisbol a una rapidez de
90 millas/h?
3. (a) Un jardinero atrapa una pelota a 280 pies desde la placa de bateo y la lanza directamente
al receptor con una velocidad inicial de 100 pies/s. Suponga que la velocidad vt de la
bola después de t segundos satisface la ecuación diferencial dvdt v10 debido
a la resistencia del aire. ¿Cuánto tarda la bola en llegar a la placa de bateo? (Ignore
cualquier movimiento vertical de la bola.)
(b) El entrenador del equipo se pregunta si la bola llega más rápido a la base principal si primero
la recibe un jugador de cuadro y éste la lanza a la base. El parador en corto puede colocarse
directamente entre el jardinero y la base, atrapar la bola proveniente del jardinero,
darse la vuelta y lanzar la bola al receptor con una velocidad inicial de 105 pies/s. El entrenador
cronometra el tiempo de relevo del parador en corto (atrapar, voltear, lanzar) en
ds
dt
mv
dv
ds