calculo-de-una-variable-1

668 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
10.6
EJERCICIOS
1–8 Escriba una ecuación polar de una cónica con el foco en el origen
y los datos dados.
1. Hipérbola,
7
excentricidad 4, directriz y 6
2. Parábola, directriz x 4
3
3. Elipse, excentricidad 4, directriz x 5
4. Hipérbola, excentricidad 2, directriz y 2
5. Parábola, vértice 4, 32
6. Elipse, excentricidad 0.8, vértice 1, 2
7. Elipse,
1
excentricidad 2, directriz r 4 sec
8. Hipérbola, excentricidad 3, directriz r 6 csc
9–16 (a) Encuentre la excentricidad, (b) identifique la cónica, (c) dé
una ecuación de la directriz y (d) bosqueje la cónica.
1
9. r
10. r
1 sen
12
11. r
12. r
4 sen
9
13. r
14. r
6 2 cos
3
15. r
16. r
4 8 cos
12
3 10 cos
3
2 2 cos
8
4 5 sen
10
5 6 sen
; 17. (a) Encuentre la excentricidad y la directriz de la cónica
r 11 3 sen y grafique la cónica y su directriz.
(b) Si esta cónica se hace girar en sentido contrario a las manecillas
del reloj respecto al origen por un ángulo 34 , escriba
la ecuación resultante y grafique su curva.
; 18. Grafique la cónica r 52 2 cos y su directriz. También
grafique la cónica obtenida al girar esta curva alrededor del origen
todo un ángulo 3.
; 19. Grafique las cónicas r e1 e cos con e 0.4, 0.6,
0.8
y 1.0 en una pantalla común. ¿Cómo afecta el valor de e a la
forma de la curva?
; 20. (a) Grafique las cónicas r ed1 e sen para e 1 y varios
valores de d. ¿Cómo afecta el valor de d a la forma de
la cónica?
(b) Grafique las cónicas d 1 y varios valores de e. ¿Cómo
afecta el valor de e a la forma de la cónica?
21. Muestre que una cónica con foco en el origen, excentricidad e
y directriz x d tiene la ecuación polar
r
22. Muestre que una cónica con foco en el origen, excentricidad e
y directriz y d tiene la ecuación polar
r
23. Muestre que una cónica con foco en el origen, excentricidad e
y directriz y d tiene la ecuación polar
r
ed
1 e cos
ed
1 e sen
ed
1 e sen
24. Muestre que las parábolas r c1 cos y
r d1 cos se cortan en ángulos rectos.
25. (a) La órbita de Marte alrededor del Sol es una elipse con excentricidad
0.093 y eje semimayor de 2.28 10 8 km. Encuentre
una ecuación polar para la órbita.
26. La órbita de Júpiter tiene excentricidad de 0.048 y la longitud
del eje mayor es 1.56 10 9 km. Encuentre una ecuación polar
para la órbita.
27. La órbita del cometa Halley, visto por última vez en 1986 y
que debe volver en 2062, es una elipse con excentricidad 0.97
y un foco en el Sol. La longitud de su eje principal es 36.18
UA. [Una unidad astronómica UA es la distancia media entre
la Tierra y el Sol, cerca de 93 millones de millas.] Encuentre una
ecuación polar para la órbita del cometa Halley. ¿Cuál es la distancia
máxima desde el cometa al Sol?
28. El cometa Hale-Bopp, descubierto en 1995, tiene una órbita
elíptica con excentricidad 0.9951 y la longitud del eje mayor es
356.5 UA. Encuentre una ecuación polar para la órbita de este
cometa. ¿Qué tan cerca del Sol llega?
29. El planeta Mercurio viaja en una órbita elíptica con excentricidad
0.206. Su distancia mínima del Sol es 4.6 10 7 km.
Determinar su distancia máxima del Sol.
30. La distancia desde el planeta Plutón al Sol es de 4.43 10 9
km en el perihelio y 7.37 10 9 km en el afelio. Hallar la excentricidad
de la órbita de Plutón.
31. Con los datos del ejercicio 29, calcule la distancia que recorre el
planeta Mercurio durante una órbita completa alrededor del Sol.
Si su calculadora o sistema algebraico computacional evalúa integrales
definidas, utilícelo. De lo contrario, use la regla de
Simpson.