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102 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
NEWTON Y LOS LÍMITES
Isaac Newton nació el día de Navidad, en
1642, el año en que murió Galileo. Cuando
ingresó a la Universidad de Cambridge, en
1661, no sabía mucho de matemáticas, pero
aprendió con rapidez leyendo a Euclides y
Descartes y asistiendo a las conferencias de
Isaac Barrow. Cambridge se cerró debido a la
plaga de 1665 y 1666, y Newton regresó a
casa a reflexionar en lo que había aprendido.
Esos dos años fueron asombrosamente productivos
porque hizo cuatro de sus principales
descubrimientos: 1) su representación de
funciones como sumas de series infinitas, incluyendo
el teorema del binomio; 2) su trabajo
sobre el cálculo diferencial e integral; 3) sus
leyes del movimiento y la ley de la gravitación
universal y 4) sus experimentos del prisma
acerca de la naturaleza de la luz y del color.
Debido a cierto temor a la controversia y a la
crítica, se mostró renuente a publicar sus
descubrimientos y no fue sino hasta 1687, a
instancias del astrónomo Halley, que publicó
Principia Mathematica. En este trabajo, el tratado
científico más grande jamás escrito, Newton
expuso su versión del cálculo y lo usó para
investigar la mecánica, la dinámica de fluidos
y el movimiento ondulatorio, así como para
explicar el movimiento de los planetas y de los
cometas.
Los inicios del cálculo se encuentran en las
operaciones para hallar las áreas y los volúmenes
que realizaron los antiguos eruditos griegos,
como Eudoxo y Arquímedes. Aun cuando
los aspectos de la idea de límite se encuentran
implícitos en su “método de agotamiento”,
Eudoxo y Arquímedes nunca formularon explícitamente
el concepto de límite. Del mismo
modo, matemáticos como Cavalieri, Fermat y
Barrow, los precursores inmediatos de Newton
en el desarrollo del cálculo, no usaron los límites.
Isaac Newton fue el primero en hablar explícitamente
al respecto. Explicó que la idea
principal detrás de los límites es que las cantidades
“se acercan más que cualquier diferencia
dada”. Newton expresó que el límite era el
concepto básico del cálculo, pero fue tarea de
matemáticos posteriores, como Cauchy, aclarar
sus ideas acerca de los límites.
(b) Empiece con la ley 5, pero su aplicación sólo se justifica plenamente en la
etapa final, cuando los límites del numerador y del denominador existen, y este
último no es 0.
x 3 2x 2 1
lím
x l2 5 3x
(por la ley 5)
(por las 1, 2 y 3)
(por las 9, 8 y 7)
NOTA Si fx 2x 2 3x 4, entonces f5 39. En otras palabras, habría obtenido la
respuesta correcta del ejemplo 2(a) sustituyendo x con 5. De manera análoga, la sustitución
directa da la respuesta correcta en el inciso (b). Las funciones del ejemplo 2 son un
polinomio y una función racional, respectivamente y el uso semejante de las leyes de los
límites prueba que la sustitución directa siempre funciona para este tipo de funciones (vea
los ejercicios 53 y 54). Este hecho se expresa del modo siguiente:
PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN DIRECTA
y a está en el dominio de f, entonces
Si f es un polinomio o una función racional
Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman continuas en a y se
estudian en la sección 2.5. Sin embargo, no todos los límites se pueden evaluar por sustitución
directa, como los ejemplos siguientes hacen ver.
x 2 1
EJEMPLO 3 Encuentre lím .
x l 1 x 1
lím x 3 2x 2 1
x l2
5 3x
lím
x l2
lím x 3 2 lím x 2 lím
x l2 x l2
lím 5 3 lím x
x l2 x l2
23 22 2 1
5 32
1
11
SOLUCIÓN Sea fx x 2 1x 1. No puede hallar el límite al sustituir x 1 porque
f1 no está definido. tampoco puede aplicar la ley del cociente porque el límite del
denominador es 0. En lugar de ello, necesita algo de álgebra preliminar. Factorice
el numerador como una diferencia de cuadrados:
x 2 1
x 1
lím f x f a
x la
x l2 1
x 1x 1
x 1
El numerador y el denominador tienen un factor común de x 1. Cuando toma el límite
a medida que x tiende a 1, tiene x 1 y, por lo tanto, x 1 0. Por consiguiente, cancele
el factor común y calcule el límite como sigue:
x 2 1
lím
x l 1 x 1 lím x 1x 1
x l 1 x 1
lím
x l 1
x 1
1 1 2
El límite de este ejemplo surgió en la sección 2.1, cuando trató de hallar la tangente a la
parábola y x 2 en el punto 1, 1.
NOTA En el ejemplo 3 fue capaz de calcular el límite sustituyendo la función dada
fx x 2 1x 1 por una función más sencilla, tx x 1, con el mismo límite.