calculo-de-una-variable-1

532 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
PROYECT0 PARA UN
DESCUBRIMIENTO
CONCURSO DE LA LONGITUD DE ARCO
Las curvas mostradas son ejemplos de gráficas de funciones continuas f que tienen las siguientes
propiedades.
1.
2.
f 0 0 y f 1 0
f x 0 para 0 x 1
3. El área bajo la gráfica de f de 0 a 1 es igual a 1.
Sin embargo, las longitudes L de estas curvas son diferentes.
y
y
y
y
1
1
1
1
0 1
x
0 1
x
0 1
x
0 1
x
LÅ3.249
LÅ2.919
LÅ3.152
LÅ3.213
Intente descubrir las fórmulas para dos funciones que satisfacen las condiciones dadas 1, 2 y 3.
(Sus gráficas podrían ser familiares a las mostradas o podrían parecer bastante diferentes.)
Después calcule la longitud de arco de cada gráfica. El elemento ganador será el que tenga la
longitud de arco más pequeña.
8.2
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN
corte
r
h
Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva respecto a una línea.
Tal superficie es el límite lateral de un sólido de revolución del tipo analizado en las secciones
6.2 y 6.3.
Se desea definir el área de una superficie de revolución de tal manera que corresponda
con la intuición. Si el área de superficie es A, se puede imaginar que pintar la superficie requeriría
la misma cantidad de pintura que una región plana con área A.
Se comienza con algunas superficies simples. El área superficial lateral de un cilindro
circular con radio r y altura h se toma como A 2rh porque se puede imaginar cortar el
cilindro y desenrollarlo (como en la figura 1) para obtener un rectángulo con dimensiones
2r y h.
De igual manera, se puede tomar un cono circular con radio de base r y altura de inclinación
l, cortarlo a lo largo de la línea discontinua en la figura 2, y aplanarlo para formar
un sector de un círculo con radio l y ángulo central . Se sabe que, en general, el
1
área de un sector de un círculo con radio l y ángulo es 2 l 2 (véase el ejercicio 35 en la
sección 7.3) y, por lo tanto, en este caso es
2rl
h
2πr
A 1 2l 2 1 2 l
2
2r
l
rl
FIGURA 1
Por ende, se define el área de superficie lateral de un cono como A rl.