calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
6. En la figura se muestra un semicírculo con radio 1, diámetro horizontal PQ, rectas tangentes en
P y Q. ¿A qué altura arriba del diámetro se debe colocar la recta horizontal para minimizar el
área sombreada?
P
FIGURA PARA EL PROBLEMA 6
Q
7. Sea P una pirámide con una base cuadrada de lado 2b y suponga que S es una esfera con su
centro en la base de P y S es tangente a los ocho lados de P. Determine la altura de P. Después
calcule el volumen de la intersección de S y P.
8. Considere una placa metálica plana que se colocará verticalmente bajo el agua con la parte
superior sumergida 2 m debajo de la superficie del agua. Determine una forma para la placa
de modo que si ésta se divide en cierto número de tiras horizontales de igual altura, la fuerza
hidrostática en cada tira es la misma.
9. Un disco uniforme con radio 1 se cortará mediante una línea de modo que el centro de
masa de la pieza más pequeña se localice a la mitad a lo largo de un radio. ¿Qué tan cerca
del centro del disco se debe hacer el corte? (Exprese su respuesta correcta hasta dos
decimales.)
L
10 cm
FIGURA PARA EL PROBLEMA 10
y
h
¨
h sen¨
10. Un triángulo con área 30 cm 2 se corta desde una esquina de un cuadrado con lado 10 cm, como
se ilustra en la figura. Si el centroide de la región restante es 4 cm desde el lado derecho del
cuadrado, ¿qué tan lejos está del fondo del cuadrado?
11. En un problema famoso del siglo XVIII, conocido como problema de la aguja del bufón,
se deja caer una aguja de longitud h sobre una superficie plana (por ejemplo, una mesa)
en la que se han dibujado líneas paralelas apartadas L unidades, L h, El problema es
determinar la probabilidad de que la aguja llegue al reposo cortando una de las líneas.
Suponga que las líneas van de este a oeste, paralelas al eje x en un sistema coordenado
rectangular (como en la figura). Sea y la distancia del extremo sur de la aguja a la línea
más próxima al norte. (Si el extremo sur de la aguja yace sobre una línea, sea y 0. Si la
aguja yace de este a oeste, sea el extremo “oeste” el extremo “sur”.) Sea u el ángulo que
la aguja forma con un rayo que se extiende hacia el este desde el extremo “sur”. Entonces
0 y L y 0 . Note que la aguja interseca una de las líneas sólo cuando y h sen .
Ahora, el conjunto total de posibilidades para la aguja se puede identificar con la región
rectangular 0 y L, 0 , y la proporción de veces que una aguja corta una línea
es la relación
y
L
h
π
2
π
FIGURA PARA EL PROBLEMA 11
¨
área bajo y h sen
área del rectángulo.
Esta relación es la probabilidad de que la aguja corte una línea. Determine la probabilidad de
que la aguja corte una línea si h L. ¿Qué pasa si h 1 2 L ?
12. Si la aguja del problema 11 tiene longitud h L, es posible que la aguja corte más de una
línea.
(a) Si L 4, encuentre la probabilidad de que una aguja de longitud 7 corte por lo menos
una línea. [Sugerencia: proceda como en el problema 11. Defina y como antes; en tal caso
el conjunto total de posibilidades para la aguja se puede identificar con la misma región
rectangular 0 y L, 0 . ¿Qué porción del rectángulo corresponde a la aguja
que corte una línea?]
(b) Si L 4, encuentre la probabilidad de que una aguja de longitud 7 corte dos líneas.
(c) Si 2L h 3L, encuentre una fórmula general para la probabilidad de que la aguja corte
tres líneas.
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