calculo-de-una-variable-1

286 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
; 9. (a) Grafique la función f x x 4x en el rectángulo de visión
0, 10 por 0, 10.
(b) Trace la recta secante que pasa por los puntos 1, 5 y 8,
8.5 en la misma pantalla con f.
(c) Calcule el número c que satisface la conclusión del teorema
del valor medio para esta función f y el intervalo 1, 8.
Luego grafique la tangente en el punto c, f c y observe
que es paralela a la recta secante.
; 10. (a) En el rectángulo de visión 3, 3 por 5, 5, grafique la
función f x x 3 2x y su recta secante que pasa por los
puntos 2, 4 y 2, 4. Mediante la gráfica estime las
coordenadas x de los puntos donde la recta tangente es
paralela a la recta secante.
(b) Calcule los valores exactos de los números c que satisfacen la
conclusión del teorema del valor medio para el intervalo
2, 2 y compare con las respuestas del inciso (a).
11–14 Compruebe que la función cumple con las hipótesis del
teorema del valor medio en el intervalo dado. Después determine
todos los números c que cumplen con la conclusión del teorema
del valor medio
11. f x 3x 2 2x 5,
12. f x x 3 x 1,
13. f x e 2x , 0, 3
14. f x
x , 1, 4
x 2
15. Sea f x x 3 2 . Demuestre que no hay valor de c en
(1, 4) tal que f 4 f 1 f c4 1. ¿Por qué esto no
contradice el teorema del valor medio?
f x 2 2x 1
1, 1
0, 2
16. Sea . Demuestre que no hay valor de c tal
que f 3 f 0 f c3 0. ¿Por qué esto no contradice el
teorema del valor medio?
17. Demuestre que la ecuación 1 2x x 3 4x 5 0 tiene
exactamente una raíz real.
18. Demuestre que la ecuación 2x 1 sen x 0 tiene exactamente
una raíz real.
19. Demuestre que la ecuación x 3 15x c 0 tiene cuando
mucho una raíz en el intervalo 2, 2.
20. Demuestre que la ecuación x 4 4x c 0 tiene cuando mucho
dos raíces reales.
21. (a) Demuestre que el polinomio de grado 3 tiene a lo más tres
raíces reales.
(b) Demuestre que el polinomio de grado n tiene cuando mucho
n raíces reales.
22. (a) Suponga que f es derivable en y que tiene dos raíces. Demuestre
que f tiene por lo menos una raíz.
(b) Suponga que f es derivable dos veces en y que tiene tres
raíces. Demuestre que f tiene por lo menos una raíz real.
(c) ¿Puede generalizar los incisos (a) y (b)?
23. Si f 1 10 y f x 2 para 1 x 4, ¿qué tan pequeña es
posible que sea f 4?
24. Suponga que 3 f x 5 para todos los valores de x. Demuestre
que 18 f 8 f 2 30.
25. ¿Existe una función f tal que f 0 1, f 2 4 y f x 2
para toda x?
26. Suponga que f y g son continuas en a, b y derivables en
a, b. Suponga además que f a ta y f x tx para
a x b. Demuestre que f b tb. [Sugerencia: aplique
el teorema del valor medio a la función h f t.]
27. Demuestre que s1 x 1 1 2 x si x 0.
28. Suponga que f es una función impar y es derivable dondequiera.
Demuestre que por cada número positivo b, existe un número
c en b, b tal que f c f bb.
29. Aplique el teorema del valor medio para demostrar la
desigualdad
para toda a y b
30. Si f x c (c es una constante) para toda x, aplique el corolario
7 para mostrar que f x cx d para alguna constante d.
31. Sean f x 1x y
Demuestre que f x tx para toda x en sus dominios.
¿Puede concluir de acuerdo con el corolario 7 que f t es
constante?
32. Aplique el método del ejemplo 6 para demostrar la identidad
33. Demuestre la identidad
34. A las 2:00 PM el velocímetro de un automóvil señala 30 millas/h.
A las 2:10 PM indica 50 millas/h. Demuestre que en algún instante
entre las 2:00 y las 2:10 la aceleración es exactamente
120 millas/h 2 .
35.
sen a sen b a b
tx
1
x
1 1 x
2 sen 1 x cos 1 1 2x 2
arcsen x 1 2 arctan sx
x 1
x 0
Dos corredores inician una carrera al mismo tiempo y terminan
empatados. Demuestre que en algún momento durante la carrera
tuvieron la misma velocidad. [Sugerencia: considere
f t tt ht, donde g y h son las funciones de posición
de los dos corredores.]
36. Un número a se denomina punto fijo de una función f si
f a a. Demuestre que si f x 1 para todos los números
reales x, después f tiene cuando mucho un punto fijo.
si
si
x 0
x 0
2