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SECCIÓN 3.2 LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE |||| 183
L¡ P
f
Q
L
segmentos directos L 1 y L 2 sean tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q. (Véase la
figura.) Para simplificar las ecuaciones decide situar el origen en P.
1. (a) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en a, b
y c que aseguren que el trayecto es suave en los puntos de transición.
(b) Resuelva la ecuación del inciso (a) para a, b y c para hallar una fórmula para fx.
; (c) Dibuje L 1, f y L 2 para verificar que las transiciones son uniformes.
(d) Encuentre la diferencia en elevación entre P y Q.
2. La solución del problema 1 quizá parezca suave, pero es posible que no se sienta suave debido
a que la pieza definida como función consistente de L 1x para x 0, fx para 0 x 100
y L 2(x) para x 100 no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente decide mejorar
el diseño aplicando una función cuadrática qx ax 2 bx c únicamente en el intervalo
10 x 90 y conectándolo con las funciones lineales por medio de dos funciones cúbicas:
tx kx 3 lx 2 mx n 0 x 10
hx px 3 qx 2 rx s
90 x 100
CAS
(a) Escriba un sistema de ecuaciones en 11 incógnitas que aseguren que las funciones y sus
dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición.
(b) Resuelva las ecuaciones del inciso (a) con un sistema de computo algebraico para encontrar
las fórmulas para qx, tx y hx.
(c) Dibuje L 1, t, q, h y L 2 y compárelos con las gráficas del problema 1 inciso (c).
3.2
LAS REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE
Las fórmulas de esta sección permiten derivar nuevas funciones formadas a partir de anteriores,
por multiplicación o división.
REGLA DEL PRODUCTO
| Por analogía con las reglas de la suma y la diferencia, podría sentirse la tentación de
presumir —como Leibniz lo hizo hace tres siglos— que la derivada de un producto es
el producto de las derivadas. Sin embargo, puede ver que esta suposición es errónea al
considerar un ejemplo particular. Sea f x x y tx x 2 . Por lo tanto la regla de la
potencia da f x 1 y tx 2x. Pero ftx x 3 , de modo que ftx 3x 2 . Por
eso, ft ft. La fórmula correcta fue descubierta por Leibniz (poco tiempo después
de su falso inicio) y se llama regla del producto.
Antes de enunciar la regla del producto, vea cómo podría descubrirla. En el caso donde
tanto u f(x) como v g(x) son funciones positivas, puede interpretar el producto
uv como un área de un rectángulo (véase la figura 1). Si x cambia una cantidad x, en
seguida los cambios correspondientes en u y v son
Î√
√
u Î√
u√
Îu Î√
√ Îu
u
Îu
u f x x f x
v tx x tx
FIGURA 1
La geometría de la regla del producto
y el nuevo valor del producto, (u u)(v v), se puede interpretar como el área del
rectángulo grande en la figura 1 (siempre que u y v sean positivos).
El cambio en el área del rectángulo es
1
uv u uv v uv u v v u u v
la suma de las tres áreas sombreadas