calculo-de-una-variable-1

730 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
2 TEOREMA Si la serie de potencias c n x a n posee un radio de convergencia
R 0, entonces la función f definida por
f x c 0 c 1 x a c 2 x a 2
c n x a n
es derivable (y, por lo tanto, continua) en el intervalo a R, a R y
n0
(i)
f x c 1 2c 2 x a 3c 3 x a 2
n1
nc n x a n1
& En el inciso (ii), x c 0 dx c 0x C 1 se
escribe como c 0x a C, donde
C C 1 ac 0, de modo que todos los términos
de la serie tienen la misma forma.
(ii)
y f x dx C c 0 x a c 1
C
c n
n0
x an1
n 1
x a2
2
c 2
x a3
3
Los radios de convergencia de la serie de potencias en las ecuaciones (i) y (ii) son R.
NOTA 1
Las ecuaciones (i) y (ii) del teorema 2 se pueden volver a escribir en la forma
(iii)
(iv)
n d
dx
c n x a
n0
n0
y
n0
c n x a ndx
n0
d
dx c nx a n
y c n x a n dx
Se sabe que, por lo que toca a las sumas finitas, la derivada de una suma es la suma de las
derivadas y la integral de una suma es la suma de las integrales. Las ecuaciones (iii) y (iv)
aseguran que lo mismo se cumple para sumas infinitas, siempre que esté trabajando con series
de potencias. (En el caso de otros tipos de series de funciones la situación no es tan
simple; véase ejercicio 36.)
NOTA 2 Aunque el teorema 2 establece que el radio de convergencia es el mismo
cuando una serie de potencias es derivada o integrada, esto no quiere decir que el intervalo de
convergencia siga siendo el mismo. Podría suceder que la serie original converja en el extremo,
y que la serie derivada sea divergente aquí. (Véase ejercicio 37.)
NOTA 3 La idea de derivar una serie de potencias término a término es la base de un
método eficaz para resolver ecuaciones diferenciales. Estudiará este método en el capítulo
17.
EJEMPLO 4 En el ejemplo 3 de la sección 11.8 vio que la función de Bessel
J 0 x
n0
1 n x 2n
2 2n n! 2
se define para toda x. De esta manera, de acuerdo con el teorema 2, J 0 es derivable para
toda x y su derivada se encuentra derivando término a término como sigue:
J 0 x
n0
d
dx
1 n x 2n
2 2n n! 2
n1
1 n 2nx 2n1
2 2n n! 2