calculo-de-una-variable-1

318 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
Ahora que sabe qué buscar, acérquese varias veces para producir las gráficas de las
figuras 12 y 13; también aléjese varias veces para lograr la figura 14.
0.05
0.0001
500
_100 1
y=ƒ
_0.05
FIGURA 12
y=ƒ
_1.5 0.5
_0.0001
FIGURA 13
y=ƒ
_1 10
_10
FIGURA 14
A partir de estas gráficas lea que el mínimo absoluto es alrededor de 0.02 y se
tiene cuando x 20. También hay un máximo local 0.00002 cuando x 0.3 y
un mínimo local 211 cuando x 2.5. Asimismo, estas gráficas muestran puntos de
inflexión cerca de 35, 5 y 1, y dos entre 1 y 0. Para estimar mejor los puntos
de inflexión, necesita dibujar f, pero calcular esta segunda derivada a mano es una
tarea irrazonable. Si cuenta con un sistema de cómputo algebraico es fácil (véase el
ejercicio 15).
Queda claro que para esta función en particular, se necesitan tres gráficas (figuras 12,
13 y 14) a fin de reunir toda la información útil. La única manera de exhibir todas estas
características de la función en una gráfica es dibujarla a mano. A pesar de las exageraciones
y las distorsiones, la figura 11 es útil para resumir la naturaleza esencial de la
función.
& La familia de funciones
f x senx sen cx
donde c es una constante, se encuentra en
aplicaciones a la síntesis de modulación de
frecuencia (FM). Una onda senoidal se modula
por medio de una onda con frecuencia diferente
sen cx. En el ejemplo 4 se estudia el caso en
que c 2. En el ejercicio 25 se examina otro
caso especial.
EJEMPLO 4 Dibuje la función f x senx sen 2x. Para , estime todos
los valores máximos y mínimos, los intervalos de incremento y decremento, y los puntos
de inflexión, correctos a una cifra decimal.
SOLUCIÓN En primer lugar, observe que f es periódica con periodo 2p. Además, f es
impar y
para todo x. De modo que la selección de un rectángulo de visualización
no es un problema para esta función: empiece con 0, por 1.1, 1.1.
(Véase la figura 15.)
f x 1 0 x
1.1
1.2
y=ƒ
0
π
0
π
y=fª(x)
_1.1
FIGURA 15
_1.2
FIGURA 16
Parece que existen tres valores máximos locales y dos valores mínimos locales en esa
ventana. Para confirmar esto y localizarlos con más exactitud, calcule que
y dibuje f y f en la figura 16.
f x cosx sen 2x 1 2 cos 2x