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SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES BÁSICAS |||| 25
Una característica representativa de las funciones lineales es que crecen en una proporción
constante. La figura 2, por ejemplo, presenta una gráfica de la función lineal
fx 3x 2 y una tabla de valores muestra. Observe que siempre que x aumenta en 0.1, el
valor de fx se incrementa en 0.3. Por eso fx se incrementa tres veces tan rápido como x.
De este modo la pendiente de la gráfica y 3x 2, en este caso 3, puede interpretarse
como la relación de cambio de y con respecto a x.
y
y=3x-2
x
f x 3x 2
FIGURA 2
0
_2
x
1.0 1.0
1.1 1.3
1.2 1.6
1.3 1.9
1.4 2.2
1.5 2.5
V EJEMPLO 1
(a) A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura
del suelo es 20C y la temperatura a la altura de 1 km es 10C, exprese la
temperatura T (en °C) como una función de la altura h (en kilómetros) suponiendo que
es un modelo lineal adecuado.
(b) Trace la gráfica de la función del inciso (a). ¿Qué representa la pendiente?
(c) ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 km?
SOLUCIÓN
(a) Como supone que T es una función lineal de h, puede escribir
Se dice que T 20 cuando h 0, así
T mh b
20 m 0 b b
En otras palabras, la ordenada al origen y es b 20.
Además, T 10 cuando h 1, de modo que
T
10 m 1 20
20
10
T=_10h+20
Por lo tanto la pendiente de la recta es m 10 20 10 y la función lineal
requerida es
T 10h 20
0
1 3
h
(b) La gráfica se traza en la figura 3. La pendiente es m 10Ckm, y esto representa
la relación de cambio de temperatura con respecto a la altura.
(c) A una altura h 2.5 km, la temperatura es
FIGURA 3
T 102.5 20 5C
Si no existe una ley física o un principio que ayude a formular un modelo, se construye
un modelo empírico, el cual se basa por completo en la información recabada. Se busca una
curva que “coincida” con los datos en el sentido de que capte la tendencia fundamental de
los puntos de los datos.