calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIAL |||| 237
150
_(ln 2)t/1590
m=100e
m=30
0 4000
FIGURA 2
Para una verificación del ejemplo 2, aplique un dispositivo gráfico para dibujar la gráfica
de m(t) en la figura 2 junto con la línea horizontal m 30. Estas curvas cruzan cuando
t 2800, y está de acuerdo con la respuesta del inciso (c).
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON
La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez de enfriamiento de un objeto
es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su medio ambiente, siempre
que esta diferncia no sea muy grande (además esta ley se aplica al calentamiento.) Si permite
que T(t) sea la temperatura del objeto en el tiempo t y T s la temperatura del medio
ambiente. Entonces, puede formular la ley de enfriamiento de Newton como una ecuación
diferencial:
Donde k es una constante. Esta ecuación no es completamente la misma que la ecuación 1, así
que hacemos el cambio de variable y(t) T(t) T s . Ya que T s , es constante, y(t) T(t) y
de este modo la ecuación se convierte en
Por lo tanto puede usar (2) para hallar una expresión para y, de la que puede encontrar T.
EJEMPLO 3 Un recipiente con una bebida gasificada a temperatura ambiente (72°F) se
coloca dentro de un refrigerador donde la temperatura es 44°F. Después de media hora la
bebida se ha enfriado hasta 61°F.
(a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida después de otra media hora?
(b) ¿Cuánto tardará la bebida en enfriarse a 50°F?
SOLUCIÓN
(a) Sea T(t) la temperatura de la bebida después de t minutos. La temperatura ambiente
es T s 44°F, por consiguiente la ley de enfriamiento de Newton establece que
Si permite que y T 44, entonces y(0) T(0) 44 72 44 28, de este modo
y satisface que
y mediante (2) tiene
yt y0e kt 28e kt
Entonces T(30) 61, igualmente y(30) 61 44 17 y
dy
dt
dT
dt
dT
dt
kT T s
dy
dt ky
kT 44
ky y0 28
28e 30k 17 e 30k 17
28
Tomando logaritmos, tiene
k
ln
28
17
30
0.01663