calculo-de-una-variable-1

APÉNDICE H NÚMEROS COMPLEJOS |||| A61
EXPONENCIALES COMPLEJOS
También necesita dar un significado a la expresión e z cuando z x iy es un número
complejo. La teoría de series infinitas desarrollada en el capítulo 11 se puede extender al
caso donde los términos son números complejos. Usando la serie de Taylor para e x
(11.10.11) como guía, se define
e z z n
4 n! 1 z z2
2! z3
3!
n0
y resulta que esta función exponencial compleja tiene las mismas propiedades que la función
exponencial real. En particular, es cierto que
5
e z1z2
e z1 e z2
Si pone z iy, donde y es un número real, en la ecuación 4, y usa los datos en que
i 2 1,
i 3 i 2 i i,
i 4 1,
i 5 i,
...
Obtiene
e iy 1 iy iy2
2!
1 iy y 2
1 y 2
cos y i sen y
iy3
3!
2! i y 3
3! y 4
4! i y 5
2! y 4
4! y 6
iy4
4!
iy5
5!
5!
6! iy
y 3
3! y 5
5!
Aquí ha empleado la serie de Taylor para cos y y sen y (ecuaciones 11.10.16 y 11.10.15). El
resultado es una famosa fórmula llamada fórmula de Euler:
6
e iy cos y i sen y
Combinando la fórmula de Euler con la ecuación 5, obtiene
7
e xiy e x e iy e x cos y i sen y
EJEMPLO 8 Evalúe: (a) e i (b)
e 1i2
& Podría escribir el resultado del ejemplo
8(a) como
e ip 1 0
Esta ecuación relaciona los cinco números
más famosos de todas las matemáticas: 0, 1,
e, iy p.
SOLUCIÓN
(a) De la ecuación (6) de Euler
(b) Usando la ecuación 7
e i cos i sen 1 i0 1
e 1i2 e 1cos
2 i sen
2 1 e 0 i1 i e
Finalmente, observe que la ecuación de Euler da un método más fácil de demostrar el
teorema de De Moivre:
rcos i sen n re i n r n e in r n cos n i sen n