calculo-de-una-variable-1

10.1
CURVAS DEFINIDAS POR ECUACIONES PARAMÉTRICAS
y
0
FIGURA 1
C
(x, y)={ f(t), g(t)}
x
Imagine que una partícula se mueve a lo largo de la curva C mostrada en la figura 1. Es imposible
describir C por una ecuación de la forma y f x porque C no pasa la prueba de la
línea vertical. Pero las coordenadas x y y de la partícula son funciones del tiempo t y, por lo
tanto, se puede escribir x f t y y tt. Tal par de ecuaciones suele ser una forma conveniente
de describir una curva y da lugar a la siguiente definición.
Suponga que x y y se dan como funciones de una tercera variable t (llamada parámetro)
mediante las ecuaciones
x f t
y tt
(llamadas ecuaciones paramétricas). Cada valor de t determina un punto x, y, que se
puede representar en un sistema coordenado. Cuando t varía, el punto x, y f t, tt
varía y traza una curva C, a la cual se le llama curva paramétrica. El parámetro t no necesariamente
representa el tiempo y, de hecho, se podría usar una letra distinta a t para el
parámetro. Pero en muchas aplicaciones de curvas paramétricas, t denota el tiempo y, por
lo tanto, se puede interpretar a x, y f t, tt como la posición de una partícula en el
tiempo t.
EJEMPLO 1 Bosqueje e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas
x t 2 2t y t 1
SOLUCIÓN Cada valor de t da un punto sobre la curva, como se muestra en la tabla. Por
ejemplo, si t 0, en tal caso x 0, y 1; así, el punto correspondiente es 0, 1. En la
figura 2 se grafican los puntos x, y determinados por varios valores del parámetro y se
unen para producir una curva.
t x y
2 8 1
1 3 0
0 0 1
1 1 2
2 0 3
3 3 4
4 8 5
y
t=2
t=1
t=0
0
(0, 1)
t=3
t=_1
t=4
8
t=_2
x
FIGURA 2
& Esta ecuación en x y y describe dónde ha
estado la partícula, pero no dice cuándo es que
la partícula estuvo en un punto en particular.
Las ecuaciones paramétricas tienen una ventaja:
dicen cuándo estuvo la partícula en un punto.
También indican la dirección del movimiento.
Una partícula cuya posición está dada por las ecuaciones paramétricas, se mueve a lo
largo de la curva en la dirección de las flechas a medida que se incrementa t. Note que
los puntos consecutivos marcados en la curva aparecen a intervalos de tiempo iguales,
pero no a iguales distancias. Esto es porque la partícula desacelera y después acelera a
medida que aumenta t.
Según se observa de la figura 2, la curva trazada por la partícula puede ser una parábola.
Esto se puede confirmar al eliminar el parámetro t como sigue. Se obtiene t y 1 de
la segunda ecuación y se sustituye en la primera. Esto da
x t 2 2t y 1 2 2y 1 y 2 4y 3
y, por lo tanto, la curva representada por las ecuaciones paramétricas es la parábola
x y 2 4y 3.
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