calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES |||| 649
57–62 Encuentre la pendiente de la línea tangente a la curva polar
dada en el punto especificado por el valor de u.
57. r 2 sen ,
p6 58. r 2 sen , p3
59. r 1, p 60. r cos 3, p
61. r cos 2, p4 62. r 1 2 cos , p3
63–68 Determine los puntos sobre la curva dada donde la tangente
es horizontal o vertical.
63. r 3 cos
64. r 1 sen
65. r 1 cos
66. r e
67. r 2 sen
68. r 2 sen 2
69.
Muestre que la ecuación polar r a sen u b cos u, donde
ab 0, representa un círculo, y encuentre su centro y radio.
70. Demuestre que las curvas r a sen u y r a cos u se cortan
en ángulos rectos.
; 71–76 Use un dispositivo de graficación para trazar la curva polar.
Elija el intervalo de parámetro para asegurarse de que produce la
curva completa.
71. r 1 2sen2 (nefroide de Freeth)
72. r s1 0.8 sen 2 (hipopede o grillete de caballo)
73. r e sen
2 cos4 (curva de mariposa)
74.
75.
76.
r sen 2 4 cos4
r 2 5 sen6
r cos2 cos3
; 77. ¿Cómo se relacionan las gráficas de r 1 senu p6 y
r 1 senu p3 con la gráfica de r 1 sen u?
En general, ¿cómo se relaciona la gráfica de r f u a con
la gráfica de r f u?
; 78. Emplee una gráfica para estimar la coordenada y de los puntos
superiores de la curva r sen 2u. Después use el cálculo para
hallar el valor exacto.
; 79. (a) Investigue la familia de curvas definida por las ecuaciones
polares r sen nu, donde n es un entero positivo. ¿Cómo
se relaciona el número de bucles con n?
(b) ¿Qué sucede si la ecuación del inciso a se sustituye por
r sen n ?
; 80. Las ecuaciones r 1 c sen nu, donde c es un número real y
n es un entero positivo, definen una familia de curvas. ¿Có-
mo cambia la gráfica cuando aumenta n? ¿Cómo cambia
cuando cambia c? Ilustre graficando suficientes miembros de
la familia para apoyar sus conclusiones.
; 81. Una familia de curvas tiene ecuaciones polares
Investigue cómo cambia la gráfica cuando cambia el número a.En
particular, se deben identificar los valores de transición de a para
los cuales cambia la forma básica de la curva.
; 82. El astrónomo Giovanni Cassini 1625-1712 estudió la
familia de curvas con ecuaciones polares
r 4 2c 2 r 2 cos 2 c 4 a 4 0
donde a y c son números reales positivos. Estas curvas se llaman
óvalos de Cassini, aun cuando son ovaladas para ciertos valores
de a y c. Cassini pensó que estas curvas podrían representar a
las órbitas planetarias mejor que las elipses de Kepler. Investigue
la variedad de formas que pueden tener estas curvas. En
particular, ¿cómo se relacionan entre sí a y c cuando la curva
se divide en dos partes?
83. Sea P cualquier punto excepto el origen en la curva
r f u. Si c es el ángulo entre la línea tangente en P y la línea
radial OP, muestre que
[Sugerencia: Observe que c f u en la figura.]
O
r 1 a cos
1 a cos
¨
tan r
drd
r=f(¨)
84. (a) Use el ejercicio 83 para mostrar que el ángulo entre la línea
tangente y la línea radial es c p4 en cada punto sobre
la curva r e u .
; (b) Ilustre el inciso (a) graficando la curva y las líneas tangentes
en los puntos donde u 0 y p2.
(c) Demuestre que cualquier curva polar r f u con la propiedad
de que el ángulo c entre la línea radial y la línea
tangente es una constante debe ser de la forma r Ce ku ,
donde C y k son constantes.
˙
P
ÿ