calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
¨
P
A(¨) B(¨)
Q
FIGURA PARA EL PROBLEMA 18
R
18. Un arco PQ de un círculo subtiende un ángulo central u, como en la figura. Sea Au el área
entre la cuerda PQ y el arco PQ. Sea Bu el área entre las rectas tangentes PR, QR y el arco.
Encuentre
lím
l 0 A
19. La velocidad del sonido c 1 en una capa superior y c 2 en una capa inferior de roca y el espesor
h de la capa superior se pueden calcular mediante la exploración sísmica si la velocidad del
sonido en la capa inferior es mayor que la velocidad en la capa superior. Se hace detonar una
carga de dinamita en el punto P y las señales transmitidas se registran en el punto Q, el cual
está a una distancia D de P. La primera señal que llega a Q viaja por la superficie y tarda T 1
segundos. La siguiente señal viaja desde el punto P al punto R, desde R a S en la capa inferior
y luego a Q, lo cual le lleva T 2 segundos. La tercera señal es reflejada por la capa inferior en el
punto medio O de RS y tarda T 3 segundos en llegar a Q.
(a) Exprese T 1, T 2 y T 3 en función de D, h, c 1, c 2 y u.
(b) Demuestre que T 2 es un mínimo cuando sen c 1c 2 .
(c) Suponga que D 1 km, T 1 0.26 s, T 2 0.32 s, T 3 0.34 s. Calcule c 1, c 2 y h.
B
h
P
¨
D
Rapidez del sonido=c¡
¨
Q
R O S
Rapidez del sonido=c
Nota: Los geofísicos usan esta técnica cuando estudian la estructura de la corteza terrestre, ya
sea con fines de detectar petróleo o enormes grietas en las rocas.
d
B
E x C
r
F
D
FIGURA PARA EL PROBLEMA 21
FIGURA PARA EL PROBLEMA 24
20. ¿Para qué valores de c existe una recta que cruce la curva
y x 4 cx 3 12x 2 5x 2 en cuatro puntos diferentes?
21. Uno de los problemas que planteó el marqués de l’Hospital en su libro de texto Analyse des Infiniment
Petits concierne a una polea conectada al techo de una habitación en un punto C mediante
una cuerda de longitud r. En otro punto B sobre el techo, a una distancia d de C (donde
d r), una cuerda de longitud se conecta a la polea y pasa por ésta en F y se conecta a un
peso W. El peso se libera y alcanza el reposo en su posición de equilibrio D. Tal y como argumentó
l’Hospital, esto sucede cuando la distancia ED se maximiza. Demuestre que cuando
el sistema alcanza el punto de equilibrio, el valor de x es
r
4d (r sr 2 8d 2 )
observe que esta expresión es independiente tanto de W como de .
22. Dada una esfera con radio r, encuentre la altura de una pirámide de volumen mínimo cuya
base es un cuadrado y cuyas caras base y triangular son tangentes a la esfera. ¿Qué sucede si
la base de la pirámide es un n-gono regular? (Un n-gono regular es un polígono con n lados y
1
ángulos iguales.) (Use el hecho de que el volumen de una pirámide es 3 Ah, donde A es el área
de la base.)
23. Suponga que una bola de nieve se funde de tal modo que su volumen disminuye en proporción
directa a su área superficial. Si tarda tres horas en que la bola disminuya a la mitad de su volumen
original, ¿cuánto tardará la bola en fundirse totalmente?
24. Una burbuja hemiesférica se coloca sobre una burbuja esférica de radio 1. Después, una burbuja
hemisférica más pequeña se coloca sobre la primera. Este proceso prosigue hasta que se forman
n cámaras, incluso la esfera. (La figura muestra el caso n 4.) Utilice la inducción matemática
para probar que la altura máxima de cualquier torre de burbujas con n cámaras es 1 sn.
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