calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
15. Sean T y N las rectas tangente y normal a la elipse x 2 9 y 2 4 1, en cualquier punto P de
ésta en el primer cuadrante. Sean x T y y T las intersecciones de T con los ejes x y y, y x N y
y N las intersecciones de N. Conforme P se mueve a lo largo de la elipse en el primer cuadrante
(pero no sobre los ejes), ¿qué valores pueden adoptar x T, y T, x N y y N? En primer lugar, intente
inferir las respuestas con sólo mirar la figura. A continuación, aplique el cálculo para resolver
el problema y vea qué tan buena es su intuición.
y
y T
T
2
P
x N
0
3
y N
N
x T
x
sen3 x 2 sen 9
16. Evalúe lím
.
x l 0 x
17. (a) Use la identidad para tan x y (véase la ecuación 14 (b) del apéndice D) para demostrar
que si dos rectas L 1 y L 2 se intersecan en un ángulo a, después
m2 m1
tan
1 m 1m 2
donde m 1 y m 2 son las pendientes de L 1 y L 2, respectivamente.
(b) El ángulo entre las curvas C 1 y C 2 en un punto de intersección se define como el ángulo
entre las rectas tangentes a C 1 y C 2 en P (si estas rectas tangentes existen). Use el inciso (a)
para hallar, correcto hasta el grado más cercano, el ángulo entre cada par de curvas en cada
punto de intersección.
(i) y x 2 y y x 2 2
(ii) x 2 y 2 3 y x 2 4x y 2 3 0
18. Sea Px 1, y 1 un punto sobre la parábola y 2 4px con foco Fp, 0. Sea a el ángulo entre la
parábola y el segmento rectilíneo FP y sea b el ángulo entre la recta horizontal y y 1 y
la parábola como en la figura. Demuestre que a b. (De modo que, por un principio de
óptica geométrica, la luz proveniente de una fuente colocada en F se reflejará a lo largo
de una recta paralela al eje x. Esto explica por qué las paraboloides, las superficies que se
obtienen al hacer girar las parábolas sobre sus ejes, se emplean como la forma de algunos
faros delanteros de automóviles y espejos para telescopios.)
y
∫ y=›
P(⁄, ›)
å
0 F(p, 0)
x
¥=4px
268