calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.1 ÁREAS Y DISTANCIAS |||| 361
También podría volver a escribir la fórmula 1 de esta manera:
n nn 12n 1
i 2
i1
6
EJEMPLO 3 Sea A el área de la región que está debajo de la gráfica de f x e x , entre
x 0 y x 2.
(a) Con los puntos extremos de la derecha, encuentre una expresión para A como un límite.
No evalúe ese límite.
(b) Estime el área al tomar los puntos muestras como los puntos medios y con cuatro subintervalos;
luego con diez subintervalos.
SOLUCIÓN
(a) Como a 0 y b 2, el ancho de un subintervalo es
x 2 0
n
2 n
Por lo tanto, x 1 2n, x 2 4n, x 3 6n, x i 2in y x n 2nn. La suma de las
áreas de los rectángulos de aproximación es
R n f x 1 x f x 2 x f x n x
De acuerdo con la definición 2, el área es
e 2n x 1 x e
x 2
e
n 4n x e
x n x
2 e
n 2nn
2 e
n
2
2
A lím R n lím
n l n l n e2n e 4n e 6n e 2nn
Si se usa la notación sigma, se podría escribir
2
A lím
n l n n e 2in
i1
Es difícil evaluar este límite directamente a mano, no así con la ayuda de un sistema algebraico
para computadora (véase el ejercicio 24). En la sección 5.3 halla A con más
facilidad, aplicando un método diferente.
(b) Con n 4, los subintervalos de ancho igual, ¢x 0.5, son 0, 0.5, 0.5, 1, 1, 1.5
y 1.5, 2. Los puntos medios de estos subintervalos son x* 1
0.25, x* 2
0.75, x 3
* 1.25 y
x 4
* 1.75, y la suma de las áreas de los cuatro rectángulos de aproximación (véase la figura
14) es
y
1 y=e–®
0
1 2
FIGURA 14
x
M 4 4
f x* i x
i1
f 0.25 x f 0.75 x f 1.25 x f 1.75 x
e 0.25 0.5 e 0.75 0.5 e 1.25 0.5 e 1.75 0.5
1 2e 0.25 e 0.75 e 1.25 e 1.75 0.8557
De este modo, una estimación para el área es
A 0.8557