calculo-de-una-variable-1

284 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
y la velocidad en t c es f c. De este modo, el teorema del valor medio (en la forma de
la ecuación 1) dice que en algún instante t c, entre a y b, la velocidad instantánea f c
es igual a esa velocidad promedio. Por ejemplo, si un automóvil recorrió 180 km en 2 h,
en seguida el velocímetro debió indicar 90 kmh por lo menos una vez.
En general, una interpretación del teorema del valor medio es que hay un número
en el cual la relación de cambio instantánea es igual a la relación de cambio
promedio en el intervalo.
El principal significado del Teorema del Valor Medio es que permite obtener información
relacionada con una función a partir de información con respecto a su derivada. El
ejemplo siguiente ilustra este principio.
V EJEMPLO 5 Suponga que f 0 3 y f x 5 para todos los valores de x. ¿Qué
tan grande es posible que sea f 2?
SOLUCIÓN Sabe que f es derivable (y, por lo tanto, continua) dondequiera. En particular,
puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo 0, 2. Allí existe un número c
tal que
f 2 f 0 f c2 0
por lo que
f 2 f 0 2f c 3 2f c
Con la información de que f x 5 para toda x, de modo que en particular sabe que
f c 5. Al multiplicar ambos lados de esta desigualdad por 2 obtiene 2f c 10, y
por eso
f 2 3 2f c 3 10 7
El valor más grande posible para f 2 es 7.
Mediante el teorema del valor medio se pueden establecer algunos de los hechos básicos
del cálculo diferencial. Uno de estos hechos básicos es el teorema siguiente. Otros se
tratan en las secciones siguientes.
5 TEOREMA Si f x 0 para toda x en un intervalo a, b, entonces f es constante
en a, b.
DEMOSTRACIÓN Sean x 1 y x 2 dos números cualquiera en a, b donde x 1 x 2. Puesto
que f es derivable en a, b, debe ser derivable en x 1 , x 2 y continua en x 1 , x 2 . Al
aplicar el teorema del valor medio a f en el intervalo x 1 , x 2 obtiene un número c tal
que x 1 c x 2 y
6
f x 2 f x 1 f cx 2 x 1
Puesto que f x 0 para toda x, f c 0, y así la ecuación 6 se transforma en
f x 2 f x 1 0
o bien,
f x 2 f x 1
Por lo tanto, f tiene el mismo valor en dos números cualquiera x 1 y x 2 en a, b. Esto
quiere decir que f es constante en a, b.
7 COROLARIO Si f x tx para toda x en el intervalo a, b, entonces f t es
constante en a, b; es decir, f x tx c donde c es constante.