calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.9 REPRESENTACIONES DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS |||| 729
& Cuando se pide una serie de potencias
en esta sección, se supone que la serie está
centrada en 0, a menos que se indique de
otra forma.
V EJEMPLO 1 Exprese 11 x 2 como la suma de una serie de potencias, y determine
el intervalo de convergencia.
SOLUCIÓN Al reemplazar x por x 2 en la ecuación 1, queda
1
1 x 1
2 1 x 2
n0
n0
x 2 n
1 n x 2n 1 x 2 x 4 x 6 x 8
Como es una serie geométrica, es convergente cuando x 2 1, es decir, x 2 1, o
bien, x 1. Por lo tanto, el intervalo de convergencia es 1, 1. Naturalmente, podría
haber determinado el radio de convergencia aplicando la prueba de la razón, pero
esa cantidad de trabajo es innecesaria en este caso.
EJEMPLO 2 Determine una representación para 1x 2.
SOLUCIÓN Con objeto de poner esta función en la forma del lado izquierdo de la ecuación
1, primero se factoriza un 2 del denominador:
1
2 x 1
2 2 1 x 1
2 2
1 x
1 2 n0
2
x n 1 n
n0 2 x n
n1
Esta serie converge cuando x2 1, es decir, x 2. De modo que el intervalo de
convergencia es 2, 2.
EJEMPLO 3 Obtenga una representación como serie de potencias de x 3 x 2.
& Es válido pasar x 3 al otro lado del signo de
la suma porque no depende de n. [Aplique el
teorema 11.2.8(i) con c x 3 .]
SOLUCIÓN Puesto que esta función es justamente x 3 veces la función del ejemplo 2, todo lo
que debe hacer es multiplicar esa serie por x 3 :
x 3
x 2 x 3
1
x 2 x 3
n0
1 n
2 n1 x n
n0
1 n
n3
n1
x
2
1 2 x 3 1 4 x 4 1 8 x 5 1 16 x 6
Otra forma de escribir esta serie es como sigue:
x 3
x 2
n3
1 n1
2 n2 x n
Como en el ejemplo 2, el intervalo de convergencia es 2, 2.
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS
La suma de una serie de potencias es una función f x n0 c n x a n cuyo dominio
es el intervalo de convergencia de la serie. Para ser capaces de derivar e integrar estas
funciones, el siguiente teorema (el cual no será demostrado) establece que es posible hacerlo
derivando o integrando cada uno de los términos de la serie, justo como se haría
para un polinomio. Esto se denomina derivación e integración término a término.