calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.2 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS |||| 631
d 2 y
| Note que d 2 y
dx dt 2
2 d 2 x
dt 2
Según se sabe del capítulo 4, también es útil considerar d 2 ydx 2 . Esto se puede hallar
si se reemplaza y por dydx en la ecuación 2:
d 2 y
dx 2
d dy
dx dx
d
dy
dt dx
dx
dt
EJEMPLO 1 Una curva C se define por las ecuaciones paramétricas x t 2 , y t 3 – 3t.
(a) Muestre que C tiene dos tangentes en el punto 3, 0 y encuentre sus ecuaciones.
(b) Determine los puntos en C donde la tangente es horizontal o vertical.
(c) Determine dónde la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
(d) Bosqueje una curva.
SOLUCIÓN
(a) Observe que y t 3 3t tt 2 3 0 cuando t 0 o t s3. Por lo tanto, el
punto 3, 0 en C surge de dos valores del parámetro, t s3 y t s3. Esto indica
que C se cruza a sí misma en 3, 0. Puesto que
dy
dx dydt
dxdt 3t 2 3
3 t 1 2t 2 t
la pendiente de la tangente cuando t s3 es dydx 6(2s3) s3, de modo
que las ecuaciones de las tangentes en 3, 0 son
y s3 x 3
y
y s3 x 3
y
t=_1
(1, 2)
0
t=1
(1, _2)
FIGURA 1
y=œ„ œ3(x-3)
(3, 0)
x
y=_ œ„ œ3(x-3)
(b) C tiene una tangente horizontal cuando dydx 0, es decir, cuando dydt 0
y dxdt 0. Puesto que dydt 3t 2 3, esto sucede cuando t 2 1, es decir, t 1.
Los puntos correspondientes en C son 1, 2 y 1, 2. C tiene una tangente vertical
cuando dxdt 2t 0, es decir, t 0. Note que dydt 0. El punto correspondiente
en C es 0, 0.
(c) Para determinar la concavidad, se calcula la segunda derivada:
d 2 y
dx 2
d
dy
dt dx
dx
dt
La curva es cóncava hacia arriba cuando t 0 y cóncava hacia abajo cuando t 0.
(d) Con la información de los incisos b y c, se bosqueja C en la figura 1.
V EJEMPLO 2
(a) Encuentre la tangente a la cicloide x r sen , y r1 cos en el punto
donde u p3. Véase el ejemplo 7 en la sección 10.1.
(b) ¿En qué puntos la tangente es horizontal? ¿Cuándo es vertical?
SOLUCIÓN
(a) La pendiente de la recta tangente es
2
3
1 1 2 t
3t 2 1
2t
4t 3
dy
dx dyd
dxd
r sen
r1 cos sen
1 cos