calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.1 SUCESIONES |||| 681
V EJEMPLO 10 ¿Para qué valores de r es convergente la sucesión r n ?
SOLUCIÓN Sabe por la sección 2.6 y las gráficas de las funciones exponenciales de la sección
1.5 que lím para a 1 y lím x l a x x l a x
0 para 0 a 1. Por lo tanto, si
hace a r y aplica el teorema 3 llega a
Es obvio que
lím r n n l
lím
n l 1n 1
0
y
si r 1
si 0 r 1
lím 0 n 0
n l
Si 1 r 0, por lo tanto
0 r 1
, de modo que
lím r n lím r n 0
n l n l
y, debido a eso, lím de acuerdo con el teorema 6. Si r 1, entonces r n n l r n 0
diverge
como en el ejemplo 6. En la figura 11 se ilustran las gráficas de varios valores de r.
(El caso de r 1 se muestra en la figura 8.)
r>1
FIGURA 11
La sucesión a n
=r n
a n
1
1
r=1
0 n
a n
1
1
_1