calculo-de-una-variable-1

550 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
PROYECT0 PARA UN
DESCUBRIMIENTO
TAZAS DE CAFÉ COMPLEMENTARIAS
Considere que tiene que elegir de dos tazas de café del tipo que se muestra, una que se curva hacia
fuera y una hacia dentro, y observe que tienen la misma altura y sus formas se ajustan cómodamente
entre sí. Le sorprende que una taza contenga más café. Naturalmente podría llenar una taza con agua
y vertería el contenido en la otra pero, como estudiante de cálculo, decide un planteamiento más
matemático. Ignorando el asa de cada una, observe que ambas tazas son superficies de revolución,
de esta manera puede pensar del café como un volumen de revolución.
y
h
x=k
A¡
A
x=f(y)
Taza A
Taza B
0
k
x
1. Considere que las tazas tienen la altura h, la taza A se forma por la rotación de la curva x f x
alrededor del eje y, y la taza B se forma por la rotación de la misma curva alrededor de la línea
x k . Hallar el valor de k tal que las dos tazas contengan la misma cantidad de café.
2. ¿Qué le expresa el resultado del problema 1 con respecto a las áreas A 1 y A 2 que se muestran
en la figura?.
3. Aplique el teorema de Pappus para explicar su resultado en los problemas 1 y 2.
4. Con respecto a sus medidas y observaciones, sugiera un valor para h y una ecuación para
x f x y calcule la cantidad de café que contiene cada una de las tazas.
8.4
APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LA BIOLOGÍA
En esta sección se consideran algunas aplicaciones de la integración a la economía (superávit
del consumidor) y la biología (flujo sanguíneo, rendimiento cardiaco). Otras se
describen en los ejercicios.
SUPERÁVIT DE CONSUMO
p
P
p=p(x)
(X, P)
0
X
x
FIGURA 1
Una curva de demanda representativa
Recuerde de la sección 4.8 que la función de demanda px es el precio que una compañía
tiene que cargar a fin de vender x unidades de un artículo. Por lo común, vender cantidades
más grandes requiere bajar los precios, de modo que la función de demanda sea una
función decreciente. La gráfica de una función de demanda representativa, llamada curva
de demanda, se muestra en la figura 1. Si X es la cantidad del artículo que actualmente está
disponible, entonces P pX es el precio de venta actual.
Se divide el intervalo [0, X] en n subintervalos, cada uno de extensión x Xn, y sea
x i * x i el punto final derecho del i-ésimo subintervalo, como en la figura 2. Si, después
de que se vendieron las primeras x i1 unidades, hubiera estado disponible un total de sólo
x i unidades y el precio por unidad se hubiera establecido en px i dólares, en tal caso se
podrían haber vendido x unidades adicionales (pero no más). Los consumidores que habrían
pagado px i dólares dieron un valor alto al producto; habrían pagado lo que valía
para ellos. Así, al pagar sólo P dólares han ahorrado una cantidad de
ahorros por unidadnúmero de unidades px i P x