calculo-de-una-variable-1

CAPÍTULO 9 REPASO |||| 615
PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO
Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero explique por
qué. Si es falso, explique por qué, o dé un ejemplo que refute el enunciado.
1. Todas las soluciones de la ecuación diferencial
son funciones decrecientes.
2. La función f x ln xx es una solución de la ecuación diferencial
x 2 yxy 1.
3. La ecuación y x y es separable.
4. La ecuación y 3y 2x 6xy 1 es separable.
5. La ecuación e x y y es lineal.
y 1 y 4 6. La ecuación y xy e y es lineal.
7. Si y es la solución del problema de valor inicial
dy
y0 1
dt 2y 1
5
y
entonces lím t l y 5.
EJERCICIOS
1. (a) Se muestra un campo direccional para la ecuación diferencial
y yy 2y 4. Bosqueje las gráficas de las
soluciones que satisfacen las condiciones iniciales dadas.
(i) y0 0.3 (ii) y0 1
y
3
2
(iii)
y0 3
(iv)
y0 4.3
1
(b) Si la condición inicial es y0 c, ¿para qué valores de
c es lím t l yt finito? ¿Cuáles son las soluciones
de equilibrio?
_3
_2
_1
0 1 2 3 x
_1
y
6
_2
4
2
0 1 2 x
2. (a) Bosqueje un campo direccional para la ecuación diferencial
y xy. Después empléelo para bosquejar las cuatro soluciones
que satisfacen las condiciones iniciales y0 1,
y0 1, y2 1, y .
(b) Compruebe su trabajo del inciso (a) resolviendo la ecuación
diferencial en forma explícita. ¿Qué tipo de curva es cada
curva solución?
3. (a) Se muestra un campo direccional para la ecuación diferencial
. Bosqueje la solución del problema de
valor inicial
y x 2 y 2 y2 1
y x 2 y 2
y0 1
_3
(b) Use el método de Euler con tamaño de paso 0.1 para
estimar y0.3 donde yx es la solución del problema de
valor inicial del inciso (a). Compare con su estimación
del inciso (a).
(c) ¿En qué líneas se localizan los centros de los segmentos de
recta horizontales del campo direccional del inciso (a)?
¿Qué sucede cuando una curva solución cruza estas líneas?
4. (a) Use el método de Euler con tamaño de paso 0.2 para
estimar y0.4, donde es la solución del problema
de valor inicial.
y 2xy 2 yx
(b) Repita el inciso (a) con tamaño de paso 0.1.
(c) Encuentre la solución exacta de la ecuación diferencial y
compare el valor en 0.4 con las aproximaciones de los
incisos (a) y (b).
5–8 Resuelva la ecuación diferencial.
5. y xesen x y cos x 6.
y0 1
dx
dt 1 t x tx
7. 2ye y 2 y 2x 3sx
8. x 2 yy 2x 3 e 1x
Use su gráfica para estimar el valor de y0.3.