calculo-de-una-variable-1

118 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
; 12. Se utiliza un horno de crecimiento de cristales en la investigación
para determinar cuál es la mejor manera de fabricar cristales
que se usarán en las partes electrónicas de los transbordadores
espaciales. Para que el crecimiento de los cristales sea el
correcto, la temperatura se tiene que controlar exactamente
ajustando la potencia de entrada. Suponga que la relación se
representa con
Tw 0.1w 2 2.155w 20
donde T es la temperatura en grados Celsius y w es la entrada
de potencia en watts.
(a) ¿Cuánta potencia se requiere para mantener la temperatura
a 200°C?
(b) Si se permite una variación de temperatura de hasta
1 °C, con respecto a 200°C, ¿qué intervalo de potencia en
watts se permite para la potencia de entrada?
(c) De acuerdo con la definición e, d de lím xl a fx L, ¿qué
es x? ¿Qué es fx? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de e
se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de d?
13. (a) Hallar un número d tal que si x 2 d, por lo tanto
4x 8 e, donde e 0.1.
(b) Repetir el inciso (a) con e 0.01.
14. Teniendo en cuenta que el lím xl 2 5x 7 3, explicar la
definición 2 hallando valores de d que corresponda a
e 0.1, e 0.05 y e 0.01.
15–18 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de límite
e ilustre con un diagrama como el de la figura 9.
15. lím 2x 3 5
16.
17.
19–32 Demuestre el enunciado aplicando la definición e, d de
límite.
18.
19. lím
20.
5 3 5
21. lím x 2 x 6
5
22.
x l2 x 2
23. lím x a
24.
x l a
25.
26.
27. lím
28.
29.
31.
x l 1
lím 1 4x 13
x l 3
x l3
x
lím x 2 0
x l 0
x l 0
x 0
lím x 2 4x 5 1
x l2
lím x 2 1 3
x l2
30.
lím ( 1 2 x 3) 2
x l2
lím 7 3x 5
x l 4
lím
x l 6 x 4 3 9 2
9 4x 2
lím
x l1.5 3 2x 6
lím c c
x l a
lím x 3 0
x l 0
lím 9 x 0
x l 9 s4
lím x 2 x 4 8
x l3
32. lím
x l2
x 3 8
CAS
33. Compruebe que otra elección posible de d es demostrar que
lím xl3 x 2 9 en el ejemplo 4 es d mín 2, e8.
34. Verifique mediante un razonamiento geométrico que la elección
más grande posible de d para demostrar que lím xl3 x 2 9 es
.
s9 3
35. (a) En el caso del límite lím xl 1 x 3 x 1 3, determine
un valor de d mediante una gráfica que corresponde a
e 0.4.
(b) Utilice un sistema algebraico para computadora con el fin
de resolver la ecuación cúbica x 3 x 1 3 e, y
determinar el valor más grande posible de d que funciona
para cualquier e 0.
(c) Use e 0.4 en su respuesta del inciso (b) y compare con
su respuesta del inciso (a).
36. Demuestre que lím .
x 1 2
37. Demuestre que lím sx sa si a 0.
Sugerencia: utilice | sx sa |
38. Si H es la función de Heaviside que se definió en el ejemplo 6
de la sección 2.2, demuestre mediante la definición 2 que no
existe el lím tl0 Ht. [Sugerencia: efectúe una demostración
indirecta como se indica. Suponga que el límite es L. Haga
1 2 en la definición de un límite e intente llegar a una
contradicción.]
39. Si la función f se define mediante
demuestre que lím xl 0 fx no existe.
40. Mediante la comparación de las definiciones 2, 3 y 4
demuestre el teorema 1 de la sección 2.3.
41. ¿Qué tan cerca a 3 tiene que hacer a x para que
1
42. Demuestre aplicando la definición 6 que lím
.
x l3 x 3 4
43. Demuestre que lím ln x .
44. Suponga que lím xla fx y lím xla tx c, donde c es un
número real. Demuestre cada proposición.
(a) lím f x tx
x l a
(b) lím f xtx si c 0
x l a
(c) lím f xtx si c 0
x l a
x l2
1
x l a
f x 0 1
x l 0
si x es racional
si x es irracional
1
4
10 000
x 3
x a
sx sa .