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SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES |||| 221
3.7
RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES
Sabemos que si y f(x) la derivada dydx se puede interpretar como la razón de cambio
de y con respecto a x. En esta sección se analizan algunas de las aplicaciones de esta idea
a la física, la química, la biología, la economía y otras ciencias.
Con base en la sección 2.7, recuerde la idea básica que se encuentra detrás de las razones
de cambio. Si x cambia de x 1 a x 2 , entonces el cambio en x es
y el cambio correspondiente en y es
x x 2 x 1
y f x 2 f x 1
El cociente de diferencia
y
x f x 2 f x 1
x 2 x 1
y
FIGURA 1
P{⁄, fl}
Q{¤, ‡}
Îx
Îy
0 ⁄ ¤
x
m PQ relación promedio de cambio
m=fª(⁄)=relación de cambio
instantánea
es la razón promedio de cambio de y con respecto a x en el intervalo x 1 , x 2 y se puede
interpretar como la pendiente de la recta secante PQ de la figura 1. Su límite, cuando
x l 0 es la derivada f x 1 , la cual, puede interpretarse como la razón de cambio instantánea
de y con respecto a x, o sea, la pendiente de la recta tangente en Px 1 , f x 1 . Si
se usa la notación de Leibniz, escriba el proceso en la forma
dy
dx lím
x l 0
Siempre que la función y f(x) tenga una interpretación específica en una de las ciencias,
su derivada tendrá una interpretación específica como razón de cambio. (Como se
analizó en la sección 2.7, las unidades de dydx son las unidades correspondientes a y
divididas entre las de x.) Vea ahora algunas de estas interpretaciones en las ciencias naturales
y sociales.
y
x
FÍSICA
Si s f(t) es la función de posición de una partícula que se mueve en una línea recta, entonces
representa el promedio de la velocidad en un periodo t, y v ds
t
dt representa
s
la velocidad instantánea (la razón de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo). La
razón de cambio instantáneo de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración:
a(t) v(t) s(t). Esto se discutió en las secciones 2.7 y 2.8, pero ahora que conoce
las fórmulas de derivación puede resolver con más facilidad, problemas que involucran
el movimiento de objetos.
V
EJEMPLO 1 La ecuación siguiente da la posición de una partícula
s f t t 3 6t 2 9t
donde t se mide en segundos y s en metros.
(a) Encuentre la velocidad en el instante t.
(b) ¿Cuál es la velocidad después de 2 y 4 s?
(c) ¿Cuándo está en reposo la partícula?
(d) ¿Cuándo se mueve hacia adelante (es decir, en dirección positiva)?
(e) Dibuje un diagrama que represente el movimiento de la partícula.
(f) Encuentre la distancia total recorrida por la partícula durante los primeros cinco
segundos.