calculo-de-una-variable-1

310 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
E.
f x 4xx 2 1 2x 2 2x
x 2 1 2 4x
x 2 1 2
y
y=2
0
x=_1 x=1
FIGURA 6
2≈
Gráfica terminada de y=
≈-1
y
x
Puesto que f x 0 cuando x 0 x 1 y f x 0 cuando x 0 x 1, f es
creciente en , 1 y 1, 0 y decreciente en 0, 1 y 1, .
F. El único número crítico es x 0. Como f pasa de positiva a negativa en 0, f 0 0
es un máximo local según la prueba de la primera derivada.
G.
f x 4x 2 1 2 4x 2x 2 12x
12x 2 4
x 2 1 4 x 2 1 3
Como 12x 2 4 0 para toda x
y
. Por lo tanto, la curva es cóncava hacia arriba en los intervalos
, 1 y 1, y cóncava hacia abajo en 1, 1. Carece de punto de
inflexión ya que 1 y 1 no están en el dominio de f.
H. A partir de la información reunida en E a G termine de trazar la gráfica en la
figura 6.
EJEMPLO 2 Trace la gráfica de f x x 2
.
sx 1
A. Dominio x x 1 0 x x 1 1,
B. Las intersecciones con los ejes x y y son 0.
C. Simetría: ninguna
D. Puesto que
E.
f x 0
f x 0 &? x 1
&?
lím
x l
x 2 1 0
x 2
sx 1
no hay asíntota horizontal. Como sx 1 l 0 cuando x l 1 y f x siempre es
positiva y entonces
x 2
lím
x l1 sx 1
y de este modo la recta x 1 es una asíntota vertical.
f x 2xsx 1 x 2 1(2sx 1)
x 1
Se ve que f x 0 cuando x 0. (Observe que no está en el dominio de f), así,
el único número crítico es 0. Puesto que f x 0 cuando 1 x 0 y f x 0
cuando x 0, f es decreciente en 1, 0 y creciente en 0, .
F. Como f 0 0 y f cambia de negativa a positiva en 0, f 0 0 es un mínimo
local, (y absoluto), según la prueba de la primera derivada.
4 3
&?
x 1
x3x 4
2x 1 32
x=_1
FIGURA 7
0
y= ≈
œ„„„„ x+1
x
G.
f x 2x 132 6x 4 3x 2 4x3x 1 12
3x 2 8x 8
4x 1 3 4x 1 52
Observe que el denominador es siempre positivo. El numerador es el polinomio cuadrático
3x 2 8x 8, que siempre es positivo por que su discriminante es
b 2 4ac 32, el cual es negativo, y el coeficiente de x 2 es positivo. Por esto,
f x 0 para toda x en el dominio de f, lo cual significa que f es cóncava hacia arriba
en 1, y no hay punto de inflexión.
H. La curva se ilustra en la figura 7.