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SECCIÓN 11.11 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR |||| 753
mio de Taylor como una aproximación de la función. La desigualdad de Taylor se puede
usar para medir la exactitud de la aproximación. En el ejemplo siguiente, se muestra una
manera en la cual esta idea se usa en la relatividad especial.
V EJEMPLO 3 En la teoría de Einstein de la relatividad especial, la masa de un objeto
que se desplaza con velocidad v es
donde m 0 es la masa del objeto cuando está en reposo y c es la velocidad de la luz. La energía
cinética del objeto es la diferencia entre su energía total y su energía en reposo:
(a) Demuestre que cuando v es muy pequeña comparada con c, esta expresión para K
concuerda con la física clásica de Newton: .
(b) Aplique la desigualdad de Taylor para estimar la diferencia en estas expresiones para
K cuando ms.
SOLUCIÓN
(a) Mediante las expresiones dadas para K y m obtiene
m 0
m
s1 v 2 c 2
K mc 2 m 0 c 2
v 100 K 1 2m 0 v 2
& La curva superior de la figura 7 es la gráfica de
la expresión de la energía cinética K de un objeto
con velocidad v en la relatividad especial. La
curva inferior muestra la función usada para K
en la física clásica newtoniana. Cuando v es mucho
más pequeña que la velocidad de la luz, las
curvas son prácticamente idénticas.
K
K=mc@-m¸c@
m 0 c 21 v2
Con x v 2 c 2 , la serie de Maclaurin para 1 x 12 es más fácil de calcular que una
serie binomial con k 1 2. (Observe que porque v c.) Por lo tanto
y
1 x 12 1 1 2 x ( 1 2)( 3 2)
2!
1 1 2 x 3 8 x 2 5 16 x 3
K m 0 c 21 1 2
m 0 c 2 1 2
K mc 2 m 0 c 2
v 2
c 2 3 8
v 2
c 2 3 8
2
12
c
x 1
v 4
c 5
4 16
m 0 c 2
s1 v 2 c 2 m 0c 2
1
x 2 ( 1 2)( 3 2)( 5 2)
3!
v 4
c 5 v 6
4 16
v
6
c 6
c 6 1
x 3
0
FIGURA 7
1
K = m¸√ @
2
c
√
Si v es mucho más pequeña que c, entonces todos los términos después del primero
son muy pequeños cuando se les compara con el primer término. Si los omite,
obtiene
(b) Si , f x m 0 c 2 1 x 12 1 y M es un número tal que
, entonces aplica la desigualdad de Taylor para escribir
f x M
x v 2 c 2 K m 0 c 2 1 2
v 2
c 2 1 2 m 0 v 2
v 100
Tiene y sabe que ms, de modo que
f x
3 4m 0 c 2 1 x 52 R 1x M 2! x 2
f x 3m 0 c 2
41 v 2 c 2 52 3m 0 c 2
41 100 2 c 2 52
M