calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 287
4.3
y
D
B
A
C
0 x
FIGURA 1
MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA
Muchas de las aplicaciones del cálculo dependen de la habilidad para deducir hechos relacionados
con una función f a partir de información que aportan sus derivadas. Como
f x representa la pendiente de la curva y f x en el punto x, f x, indica la dirección
en la cual la curva progresa en cada punto. Por eso es razonable esperar que la información
con respecto a f x proporcione información relacionada con f x.
¿QUÉ DICE f CON RESPECTO A f ?
Para ver cómo la derivada de f puede decir dónde una función es creciente o decreciente
observe la figura 1. (Las funciones crecientes y decrecientes se definen en la sección 1.1.)
Entre A y B y entre C y D, las tangentes tienen pendiente positiva y de este modo f x 0.
Entre B y C, las tangentes tienen pendiente negativa por lo que f x 0. Por esto, parece
que f se incrementa cuando f x es positiva y decrece cuando f x es negativa. Para
demostrar que siempre es así, se recurre al teorema del valor medio.
& Abrevie el nombre de esta prueba
llamándola prueba C/D.
PRUEBA CRECIENTE/DECRECIENTE
(a) Si f x 0 sobre un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo.
(b) Si f x 0 sobre un intervalo, entonces f es decreciente en ese
intervalo.
DEMOSTRACIÓN
(a) Sean x 1 y x 2 dos números cualesquiera en el intervalo, con x 1 x 2 . Según la
definición de una función creciente (página 20) tiene que demostrar que
f x 1 f x 2 .
Debido a que f x 0, sabe que f es derivable sobre x 1 , x 2 . De modo que, por el
teorema del valor medio existe un número c entre x 1 y x 2 tal que
1
f x 2 f x 1 f cx 2 x 1
Ahora bien, por hipótesis f c 0 y x 2 x 1 0 porque x 1 x 2 . De este modo, el
lado derecho de la ecuación 1 es positivo, con lo cual,
f x 2 f x 1 0
o
f x 1 f x 2
Esto demuestra que f es creciente.
El inciso (b) se prueba de manera análoga.
V EJEMPLO 1 Encuentre dónde crece la función
dónde decrece.
f x 3x 4 4x 3 12x 2 5 y
SOLUCIÓN f x 12x 3 12x 2 24x 12xx 2x 1
Para aplicar la prueba CD, debe saber dónde f x 0 y dónde f x 0. Esto depende
de los signos de los tres factores de f x; a saber, 12x, x 2 y x 1. Divida la recta
real en intervalos cuyos puntos extremos sean los números críticos 1, 0 y 2 y ordene
su trabajo en una tabla. Un signo de más indica que la expresión dada es positiva y uno
de menos, que es negativa. En la última columna de la tabla se da la conclusión basada en
la prueba CD. Por ejemplo, f x 0 para 0 x 2, de modo que f es decreciente