calculo-de-una-variable-1

594 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
La ecuación logística (4) es separable y, por lo tanto, se puede resolver de manera
explícita con el método de la sección 9.3. Puesto que
dP
kP1 P dt
K
se tiene
5
y
dP
P1 PK y k dt
Para evaluar la integral del lado izquierdo, se escribe
Al emplear fracciones parciales (véase sección 7.4), se obtiene
Esto permite reescribir la ecuación 5:
1
P1 PK
K
PK P
K
PK P 1 P 1
K P
y 1 P 1
K P dP y k dt
ln P ln K P kt C
ln K P
P
kt C
K P
P
e ktC e C e kt
6
K P
P
Ae kt
donde A e C . Si de la ecuación 3 se despeja P, se obtiene
K
P 1 Aekt
?
P
K 1
1 Ae kt
por lo tanto,
P
K
1 Ae kt
Se encuentra el valor de A si se escribe t 0 en la ecuación 6. Si t 0, entonces P P 0
(la población inicial), por lo tanto,
K P 0
P 0
Ae 0 A