calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 10.6 SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES |||| 667
7 La ecuación polar de una elipse con foco en el origen, eje semimayor a, excentricidad
e y directriz x d se puede escribir en la forma
r a(1 e2 )
1 e cos
planeta
r
¨
sol
afelio perihelio
FIGURA 7
Las posiciones de un planeta que sean más cercanas al Sol, y más cercanas a éste, se denominan
perihelio y afelio, respectivamente, y corresponden a los vértices de la elipse.
(Veáse figura 7.) Las distancias del Sol al perihelio y afelio reciben el nombre de distancia
al perihelio y distancia al afelio, respectivamente. En la figura 1 el Sol está en el foco F,
de modo que en el perihelio se tiene u 0 y, de la ecuación 7,
r a(1 e2 ) a(1 e)(1 e)
a(1 e)
1 e cos 1 e
Del mismo modo, en el afelio u p y r a(1 e).
8 La distancia al perihelio de un planeta al Sol es a(1 e) y la distancia al
afelio es a(1 e).
EJEMPLO 5
(a) Encuentre una ecuación polar aproximada para la órbita elíptica de la Tierra alrededor
del Sol (en un foco), dado que la excentricidad es alrededor de 0.017 y la longitud del eje
mayor es de unos 2.99 10 8 km.
(b) Encuentre la distancia de la Tierra al Sol en el perihelio y el afelio.
SOLUCIÓN
(a) La longitud del eje mayor es 2a 2.99 10 8 , por lo que a 1.495 10 8 . No indican
que e 0.017 y por tanto, de la ecuación 7, una ecuación de la órbita de la Tierra
alrededor del Sol es
o bien, aproximadamente,
r a(1 e2 )
(1.495 108 )[1 (0.017) 2 ]
1 e cos 1 0.017 cos
r
1.49 108
1 0.017 cos
(b) De (8), la distancia al perihelio de la Tierra al Sol es
y la distancia al afelio es
a(1 e) (1.495 10 8 )(1 0.017) 1.47 10 8 km
a(1 e) (1.495 10 8 )(1 0.017) 1.52 10 8 km