calculo-de-una-variable-1

640 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
¨+π
O
¨
(r, ¨ )
Se extiende el significado de las coordenadas polares r, u al caso en que r es negativa
estando de acuerdo en que, como en la figura 2, los puntos r, u y r, u están en
la misma línea que pasa por O y a la misma distancia r de O, pero en lados opuestos de O.
Si r 0, el punto r, u está en el mismo cuadrante que u; si r 0, está en el cuadrante del
lado opuesto del polo. Observe que r, u representa el mismo punto que r, u p.
(_r, ¨)
FIGURA 2
EJEMPLO 1 Grafique los puntos cuyas coordenadas polares son:
(a) 1, 5p4 (b) 2, 3p (c) 2, 2p3 (d) 3, 3p4
SOLUCIÓN Los puntos se grafican en la figura 3. En el inciso (d) el punto 3, 3p4 se
localiza a tres unidades del polo en el cuarto cuadrante porque el ángulo 3p4 está en el
segundo cuadrante y r 3 es negativa.
5π
4
’
O
(2, 3π)
3π
O
O
2π
_
3
O
3π
4
FIGURA 3
2π ”2, _ ’
3
3π ”_3, ’
4
En el sistema coordenado cartesiano, todo punto tiene sólo una representación, pero en el
sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones. Por ejemplo,
el punto 1, 5p4 del ejemplo 1a se podría escribir como 1, 3p4 o 1, 13p4 o
1, p4. Véase fig. 4.
5π
4
O
O
_ 3π 4
13π
4
O
O
π
4
”1, ’
” ’
”_1, ’
FIGURA 4
De hecho, puesto que una rotación completa en sentido contrario a las manecillas del
reloj está dada por un ángulo 2p, el punto representado por coordenadas polares r, u
se representa también por
r, u 2np y r, u 2n 1p
y
P(r, ¨ )=P(x, y)
donde n es cualquier entero.
La conexión entre coordenadas polares y cartesianas se puede ver en la figura 5, en la
que el polo corresponde al origen y el eje polar coincide con el eje x positivo. Si el punto
P tiene coordenadas cartesianas x, y y coordenadas polares r, u, entonces, de la figura,
se tiene
r
y
cos x r
sen y r
O
¨
x
x
y, de este modo,
FIGURA 5
1
x r cos
y r sen
Aunque las ecuaciones 1 se dedujeron de la figura 5, que ilustra el caso donde r 0 y
0 u p2, estas ecuaciones son válidas para todos los valores de r y u. Véase la definición
general de sen u y cos u en el apéndice D.