calculo-de-una-variable-1

568 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
P
0 t
FIGURA 2
La familia de soluciones P(t)=Ce
con C>0 y t˘0
C kt
t 0, se obtiene P0 Ce k0 C, de modo que la constante C resulta ser la población
inicial, P0.
La ecuación 1 es apropiada para representar el crecimiento poblacional en condiciones
ideales, pero se tiene que reconocer que un modelo más real debe reflejar el hecho de que
un determinado ambiente tiene recursos limitados. Muchas poblaciones comienzan incrementándose
de manera exponencial, pero la población se estabiliza cuando se aproxima a
su capacidad de soporte K (o disminuye hacia K si alguna vez excede a K). Para que un
modelo tome en cuenta ambas tendencias, se hacen dos suposiciones:
&
dP
kP si P es pequeña (al inicio, la rapidez de crecimiento es proporcional
dt
a P).
dP
&
0 si P K (P disminuye si nunca excede a K).
dt
Una expresión simple que incorpora ambas suposiciones, es la siguiente ecuación
dP
kP1 P 2
dt
K
P
P=K
0
P=0
solución de
equilibrio
FIGURA 3
Soluciones de la ecuación logística
t
Observe que si P es pequeña en comparación con K, entonces PK se aproxima a 0 y,
por lo tanto, dPdt kP. Si P K, entonces 1 PK es negativa y, por lo tanto,
dPdt 0.
La ecuación 2 se llama ecuación diferencial logística, y la propuso el biólogo matemático
holandés Pierre-François Verhulst en la década de 1840 como un modelo para
el crecimiento poblacional mundial. Se desarrollarán técnicas que permiten hallar soluciones
explícitas de la ecuación logística en la sección 9.4, pero por ahora se pueden
deducir características cualitativas de las soluciones directamente de la ecuación 2. Se
observa primero que las funciones constantes Pt 0 y Pt K son soluciones porque,
en cualquier caso, uno de los factores del lado derecho de la ecuación 2 es cero.
(Esto sin duda tiene sentido físico: si la población es alguna vez 0 o está a la capacidad
de soporte, permanece así). Estas dos soluciones constantes se llaman soluciones de
equilibrio.
Si la población inicial P(0) está entre 0 y K, entonces el lado derecho de la ecuación 2
es positivo, por lo tanto dPdt 0 y crece la población. Pero si la población rebasa la
capacidad de soporte P K, entonces 1 PK es negativa, así que dPdt 0 y
la población disminuye. Observe que, en cualquier caso, si la población tiende a la capacidad
de soporte P l K, entonces dPdt l 0, lo que significa que la población se
estabiliza. Así que se espera que las soluciones de la ecuación diferencial logística tengan
gráficas que se parecen a algo como las de la figura 3. Observe que las gráficas se
alejan de la solución de equilibrio P 0 y se mueven hacia la solución de equilibrio
P K.
MODELO PARA EL MOVIMIENTO DE UN RESORTE
Ahora se examina un ejemplo de un modelo de las ciencias físicas. Se considera el movimiento
de un objeto con masa m en el extremo de un resorte vertical (como en la figura 4).
En la sección 6.4 se analizó la ley de Hooke, la cual establece que si un resorte se estira
(o comprime) x unidades desde su longitud natural, entonces ejerce una fuerza que es proporcional
a x:
fuerza de restauración kx