calculo-de-una-variable-1

678 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
La comparación de la definición 2 y la definición 2.6.7 señala que la única diferencia entre
lím nl a n L y lím xl fx L es que se requiere que n sea entero. En estos términos
está el siguiente teorema, el cual se ilustra en la figura 6.
3 TEOREMA Si lím xl fx L y fn a n , cuando n es un entero, entonces
lím nl a n L.
y
y=ƒ
L
FIGURA 6
0 1 2 3 4
x
En particular, puesto que ya se sabe que lím x l 1x r 0, cuando r 0 (teorema
2.6.5), se tiene
1
4 lím
si r 0
n l n 0 r
Si a n tiende a ser muy grande cuando n lo es, se usa la notación lím nl a n . La
siguiente definición exacta es parecida a la definición 2.6.9.
5 DEFINICIÓN
entero N tal que
lím nl a n significa que para todo número positivo M hay un
a n M
siempre que n N
Si lím nl a n , entonces la sucesión a n es divergente pero de una manera especial.
Se dice que a n diverge a .
Las leyes de los límites que se estudian en la sección 2.3 también se cumplen para los
límites de sucesiones y sus demostraciones son similares.
LEYES DE LOS LÍMITES PARA LAS SUCESIONES.
Si a n y b n son sucesiones convergentes y c es una constante, entonces
lím a n b n lím a n lím b n
n l n l n l
lím a n b n lím a n lím b n
n l n l n l
lím ca n c lím a n
n l n l
lím c c
n l
lím a nb n lím a n lím b n
n l n l n l
a n
lím
n l b n
lím a n
n l
lím b n
n l
si lím
n l
b n 0
lím a n p [lím a n
n l n l
] p si p 0 y a n 0