calculo-de-una-variable-1

110 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
conservar abajo a cualquier número positivo. Y de acuerdo con el mismo razonamiento,
¡claro que es posible! Si escribe e (la letra griega épsilon) para que represente un número
positivo arbitrario, entonces se encuentra al igual que antes que
1
fx 5 e
si
0 x 3
2
ƒ
está
aquí
y
5+∑
5
5-∑
Ésta es una forma exacta de decir que f x está cerca de 5 cuando x se acerca a 3 porque
(1) establece que es posible hacer que los valores de f x queden dentro de una distancia
arbitraria e a partir de 5 conservando los valores de x dentro de una distancia e2 a partir
de 3 (pero x 3).
Observe que otra forma de (1) es:
si 3 d x 3 d x 3 en tal caso 5 e f x 5 e
lo cual se ilustra en la figura 1. Al hacer que los valores de x 3 queden en el intervalo
3 d, 3 d es posible hacer que los valores de f x se ubiquen en el intervalo
5 e, 5 e.
Usando (1) como modelo, damos una definición precisa de límite.
FIGURA 1
0 3
x
3-∂ 3+∂
cuando x está aquí
(x≠3)
2 DEFINICIÓN Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene
el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces decimos que el límite de
fx cuando x tiende a a es L, se escribe
lím f x L
x l a
si para todo número e 0 hay un número d 0 tal que
si 0 x a d entonces fx L e
Puesto que x a es la distancia desde x hasta a y fx L es la distancia desde f x
hasta L y como e puede ser arbitrariamente pequeño, la definición de límite se puede expresar
en palabras como se indica a continuación:
lím xl a fx L quiere decir que la distancia entre f x y L puede hacerse pequeña en forma
arbitraria al hacer que la distancia desde x hasta a sea suficientemente pequeña (pero no 0).
Otra posibilidad es
lím xl a fx L significa que los valores de f x pueden ser tan cercanos como quiera a L
al hacer que x se acerque lo suficiente a a (pero que no sea igual a a).
Asimismo, puede replantear la definición 2 en términos de intervalos si observa que la desigualdad
x a d equivale a d x a d, que a su vez se puede escribir como
a d x a d. También 0 x a es verdadera si y sólo si x a 0 es decir,
x a. De manera similar, la desigualdad fx L e equivale al par de desigualdades
L e fx L e. Por lo tanto, en términos de intervalos, la definición 2 se puede
plantear como sigue:
lím xl a fx L quiere decir que para todo e 0 (sin que importe lo pequeño que sea e)
puede encontrar una d 0 tal que si x está en el intervalo abierto a d, a d y x a,
entonces f x queda en el intervalo abierto L e, L e.
La interpretación geométrica de este enunciado se consigue representando una función
mediante un diagrama de flechas como en la figura 2, donde f mapea un subconjunto de
en otro subconjunto de .