calculo-de-una-variable-1

602 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
medio segundo. ¿A qué distancia de la base de bateo se debe colocar el parador en corto
a fin de reducir el tiempo total para que la bola llegue a su destino? ¿El entrenador debe
promover un lanzamiento directo o uno de relevo? ¿Qué pasa si el parador en corto puede
lanzar a 115 pies/s?
; (c) ¿Para qué velocidad de lanzamiento del parador en corto un lanzamiento de relevo toma
el mismo tiempo que un lanzamiento directo?
9.5
ECUACIONES LINEALES
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una que se puede escribir en la forma
1
dy
dx
Pxy Qx
donde P y Q son funciones continuas en un determinado intervalo. Este tipo de ecuación
se presenta con frecuencia en varias ciencias, como se verá.
Un ejemplo de una ecuación lineal es xy y 2x porque, para , se puede escribir
en la forma
y 1 x y 2
2 x 0
Observe que esta ecuación diferencial no es separable porque es imposible factorizar la expresión
para y como una función de x por una función de y. Pero aún se puede resolver la
ecuación si se nota, por la regla del producto, que
xy y xy
y, por lo tanto, la ecuación se puede reescribir como
xy 2x
Si ahora se integran ambos lados de esta ecuación, se obtiene
xy x 2 C
o
y x C x
Si se hubiera tenido la ecuación diferencial en la forma de la ecuación 2, se habría tenido
que tomar el paso preliminar de multiplicar cada lado de la ecuación por x.
Resulta que toda ecuación diferencial lineal de primer orden se puede resolver de un
modo similar al multiplicar ambos lados de la ecuación 1 por una función adecuada Ix
llamada factor de integración. Se intenta hallar I de modo que el lado izquierdo de la ecuación
1, cuando se multiplique por Ix, se convierta en la derivada del producto Ixy:
3
Ixy Pxy Ixy
Si se puede hallar tal función I, en tal caso la ecuación 1 se convierte en
Ixy IxQx