calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 6.2 VOLÚMENES |||| 425
& ¿Obtuvo una respuesta razonable en el
ejemplo 2? Como verificación del trabajo,
reemplace la región dada por un cuadrado
de base 0, 1 y altura 1. Si gira el cuadrado
obtendrá un cilindro de radio 1, y volumen
1 2 1 . Ya calculamos que el sólido
dado tiene la mitad de este volumen. Eso parece
casi correcto.
El sólido está entre x 0 y x 1, de modo que el volumen es
V y 1
Ax dx y 1
xdx x 2
y
y
y=œ„
0
0
20
1
2
œ„
0 x 1
x
0
1 x
Îx
FIGURA 6
(a)
(b)
V EJEMPLO 3 Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región definida por
y x 3 , y 8 y x 0 con respecto al eje y.
SOLUCIÓN La región se ilustra en la figura 7(a) y el sólido resultante se muestrea en la
figura 7(b). Puesto que la región gira alrededor del eje y, tiene sentido “rebanar” el
sólido en forma perpendicular al eje y, y, por lo tanto, integrar con respecto a y. Si
corta a una altura y, obtiene un disco de radio x, donde x s 3 y. De tal manera, el área
de una sección transversal a través de y es
y el volumen del cilindro de aproximación ilustrado en la figura 7(b) es
Puesto que el sólido está entre y 0 y y 8, su volumen es
V y 8
Ay dy y 8
y 23 dy
0
Ay x 2 (s 3 y) 2 y 23
Ay y y 23 y
0
[ 3 5 y 53 ] 0
8
96
5
y
y
y=8
8
x=0
y=˛
o
3
x=œ„y
Îy
(x, y)
0 x
0 x
FIGURA 7
(a)
(b)