calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN |||| 93
2
DEFINICIÓN
Escriba
lím f x L
x la
y se lee el límite izquierdo de f x cuando x tiende a a o el límite de f x
cuando x se acerca a a por la izquierda es igual a L, si puede aproximar los
valores de fx a L tanto como quiera, escogiendo una x lo bastante cerca de a
pero menor que a.
Advierta que la definición 2 difiere de la 1 sólo en que x debe ser menor que a. De
manera análoga, si requiere que x sea mayor que a, obtiene: “el límite de fx por la derecha
cuando x se aproxima a a es igual a L” y escribe
lím f x L
x l a
Así, el símbolo “x l a ” significa que considere sólo x a. En la figura 9 se ilustran estas
definiciones
y
y
ƒ
L
L
ƒ
0 x
0 x a x
a x
3 lím f x L si y sólo si y lím x l a x la
x la
FIGURA 9
(a) lím ƒ=L
(b) lím ƒ=L
x a _
x a +
Al comparar la definición 1 con las definiciones de los límites laterales, se cumple lo
siguiente
y
4
3
y=©
1
0 1 2 3 4 5 x
FIGURA 10
V EJEMPLO 7 En la figura 10 se muestra la gráfica de una función t. Úsela para dar los
valores (si existen de los límites siguientes:
(a) lím tx (b) lím tx (c)
x l 2 x l 2
(d) lím tx (e) lím tx (f)
x l 5 x l 5
SOLUCIÓN A partir de la gráfica es claro que los valores de tx tienden a 3 cuando x tiende
a 2 por la izquierda, pero se acercan a 1 cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Por
consiguiente
(a) lím tx 3 y (b)
x l 2
(c) Como los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, con base en (3) se
concluye que lím xl 2 tx no existe
La gráfica muestra también que
lím tx
x l 2
lím tx
x l 5
lím tx 1
x l 2
(d) lím tx 2 y (e) lím tx 2
x l 5 x l 5