calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 213
Las funciones trigonométricas inversas que se generan con mayor frecuencia son las
que acaba de analizar. Las derivadas de las cuatro restantes se presentan en la tabla siguiente.
Las demostraciones de las fórmulas se dejan como ejercicios.
DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
& Las fórmulas de las derivadas de
csc 1 x y sec 1 x dependen de las
definiciones que se aplican para estas
funciones. Véase ejercicio 58.
d
dx sen1 x
d
1
dx cos1 x
s1 x 2
1
s1 x 2
d
dx tan1 x 1
1 x 2
d
1
dx csc1 x
xsx 2 1
d
dx sec1 x
1
xsx 2 1
d
dx cot1 x 1
1 x 2
3.5
EJERCICIOS
1–4
(a) Encuentre y por derivación implícita.
(b) Resuelva en forma explícita la ecuación para y y derive para
obtener y en términos de x.
(c) Compruebe que sean coherentes sus soluciones a los incisos
(a) y (b) sustituyendo la expresión para y en su solución del inciso
(a).
1. xy 2x 3x 2 4 2. 4x 2 9y 2 36
1
3. 4. cos x sy 5
x 1 y 1
5–20 Encuentre dydx por derivación implícita.
5. x 2 y 2 1
6.
2sx sy 3
7. x 2 xy y 2 4 8. 2x 3 x 2 y xy 3 2
9. x 4 x y y 2 3x y 10. y 5 x 2 y 3 1 ye x 2
11. x 2 y 2 x sen y 4 12. 1 x senxy 2
13. 4 cos x sen y 1 14. y senx 2 x seny 2
15. e x2y x y
16. sx y 1 x 2 y 2
17. sxy 1 x 18. tanx y
y
2 y
1 x 2
19. e y cos x 1 senxy 20. sen x cos y sen x cos y
25–30 Utilice la derivación implícita para encontrar una ecuación
de la recta tangente a la curva en el punto dado.
25. x 2 xy y 2 3, 1, 1 (elipse)
26. x 2 2xy y 2 x 2, 1, 2 (hipérbola)
27.
x 2 y 2 2x 2 2y 2 x 2
(0, 1 2)
(cardioide)
y
28.
x 23 y 23 4
(3s3, 1)
(astroide)
29. 2x 2 y 2 2 25x 2 y 2 30. y 2 y 2 4 x 2 x 2 5
(3, 1) (0, 2)
(lemniscata)
(curva del diablo)
y
0
x
x
y
0 8
y
x
x
21. Si f x x 2 f x 3 10 y f 1 2, encuentre f 1.
22. Si tx x sen tx x 2 , determine t0.
23–24 Considere a y como la variable independiente y a x como
la variable dependiente, y aplique la derivación implícita para
calcular dxdy.
23. x 4 y 2 x 3 y 2xy 3 0 24. y sec x x tan y
31. (a) La curva con ecuación y 2 5x 4 x 2 se llama kampila de
Eudoxo. Encuentre una ecuación de la recta tangente a esta
curva en el punto (1, 2).
; (b) Ilustre el inciso (a) dibujando la curva y la recta tangente en
una pantalla común. (Si su aparato graficador puede trazar
las gráficas de curvas definidas implícitamente, después